Encontre as soluções das seguintes inequações:
1 < |x - 3| < 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação 1 < |x - 3| < 4. Aqui, estamos lidando com valores absolutos. O que precisamos é encontrar todos os valores de x que fazem com que a expressão |x-3| seja maior que 1 e menor que 4 ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x-3|. O valor absoluto de uma expressão, como |x-3|, representa a distância de x até 3 na linha dos números reais. Então, significa que x está a menos de 4 unidades de distância de 3.
Para resolver , removemos o valor absoluto e escrevemos a inequação como:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação . Para isolar x, adicionamos 3 em todas as partes:
Então, a solução para é .

Passo 4

Agora, vamos resolver a outra parte da inequação original: . Isso significa que a distância de x até 3 é maior que 1.
Para resolver , removemos o valor absoluto e escrevemos como duas inequações:

Passo 5

Resolvendo cada parte:
  1. :
  1. :
Então, a solução para é ou .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem ambas as condições: e ( ou ).
Isso significa que:
  • Para , dentro do intervalo , temos .
  • Para , dentro do mesmo intervalo, temos .

Resposta

As soluções da inequação 1 < |x - 3| < 4 são:

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