Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, encontrar as famílias de soluções. Isso envolve o estudo de equações diferenciais exatas, um tópico de cálculo que ajuda a resolver equações que podem ser integradas diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro,
:
Já que
não depende de
.
Agora,
:
Passo 4
Comparando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial
não é exata.
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Resolva:
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
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Encontre as soluções dos seguintes p.v.i:
Resolva:
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