Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial é exata e, se for, encontrar as famílias de soluções. Isso envolve o estudo de equações diferenciais exatas, um tópico de cálculo que ajuda a resolver equações que podem ser integradas diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, :
Já que não depende de .
Agora, :

Passo 4

Comparando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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Resolva:
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .
Encontre as soluções dos seguintes p.v.i:
Resolva: .