Encontre a soma da série sumn=1^infty(4n(n+1)+13^n)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série . Aqui, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente séries telescópicas e séries geométricas. Precisamos entender como decompor frações e aplicar fórmulas de somas de séries para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a resolução:
sumn=1^infty 4n(n+1) + sumn=1^infty 13^n

Passo 3

Vamos resolver a primeira soma: 1n(n+1) = 1n - 1n+1 .
Para isso, usamos a decomposição em frações parciais. Sabemos que:
4n(n+1) = 4(1n - 1n+1)
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 4

Substituímos de volta na série:
sumn=1^infty 4n(n+1) = 4 sumn=1^infty (1n - 1n+1)
Esta é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos ver os primeiros termos para identificar o padrão:
4( ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots )
Observamos que quase todos os termos internos se cancelam, restando apenas:
4 (1 - limn to infty 1n+1) = 4 (1 - 0) = 4

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda soma: S = a1 - r .
Esta é uma série geométrica onde o primeiro termo S = 131 - 13 = 1323 = 12 e a razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 6

Finalmente, somamos os resultados das duas séries:
4 + 12 = 82 + 12 = 92

Resposta

A soma da série é .

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