Encontre a soma da série
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série
. Aqui, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente séries telescópicas e séries geométricas. Precisamos entender como decompor frações e aplicar fórmulas de somas de séries para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos resolver a primeira soma:
.
Para isso, usamos a decomposição em frações parciais. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 4
Substituímos de volta na série:
Esta é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos ver os primeiros termos para identificar o padrão:
Observamos que quase todos os termos internos se cancelam, restando apenas:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda soma:
.
Esta é uma série geométrica onde o primeiro termo
e a razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, somamos os resultados das duas séries:
Resposta
A soma da série é
.