Use o Teorema 4 para encontrar os seguintes limites:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o limite
usando o Teorema 4. Esse tipo de limite envolve sequências e o comportamento de termos à medida que
cresce sem limites. Para resolver, vamos precisar entender como os numeradores e denominadores se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Esse termo alterna entre
e
conforme
aumenta. Ou seja, para valores pares de
,
, e para valores ímpares,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Conforme
cresce, o termo
domina, fazendo com que o denominador cresça muito rapidamente em direção ao infinito.
Passo 4
O Teorema 4 nos ajuda a avaliar limites onde o numerador é limitado (neste caso, sempre entre
e
) e o denominador cresce sem limites. Segundo o teorema, se
é limitado e
tende ao infinito, então
.
Passo 5
Aplicando o Teorema 4 ao nosso caso:
-
, que é limitado. -
quando .
Portanto,
.
Resposta
O limite é igual a
.