Encontre a soma da série.
22. sumn=2^infty x^3 n+1n!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a soma da série infinita:
sumn=2^infty x^3n + 1n!
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e fatores fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o desenvolvimento em série da função exponencial e algumas propriedades de séries.

Passo 2

Vamos começar entendendo a estrutura da série. Observamos que o termo geral é:
x^3n + 1n!
Podemos reescrever esse expoente para facilitar nossa análise:
x^3n + 1 = x cdot x^3n
Então, a série fica:
sumn=2^infty x cdot x^3nn! = x sumn=2^infty (x^3)^nn!

Passo 3

Agora, observamos que a série:
sumn=0^infty (x^3)^nn!
é a expansão em série da função exponencial e^x^3. Sabemos que:
e^x^3 = sumn=0^infty (x^3)^nn!

Passo 4

Entretanto, nossa série começa em n=2. Para ajustar isso, podemos subtrair os primeiros termos ( n=0 e n=1) da série completa:
sumn=2^infty (x^3)^nn! = e^x^3 - (x^3)^00! - (x^3)^11! = e^x^3 - 1 - x^3

Passo 5

Agora, substituímos de volta na nossa expressão original:
x sumn=2^infty (x^3)^nn! = x ( e^x^3 - 1 - x^3 )

Resposta

Portanto, a soma da série é:
x ( e^x^3 - 1 - x^3 )

Exercícios relacionados