O gráfico da função
é uma superfície
no
. Encontre os pontos de
mais próximos da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na superfície definida por
que estão mais próximos da origem no espaço
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente otimização com derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na distância entre um ponto qualquer
e a origem
. A fórmula da distância é:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o quadrado da distância:
Como
, podemos substituir:
Agora, precisamos minimizar
em relação a
e
.
Passo 3
Para encontrar os mínimos, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Primeira, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Simplificando:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira:
Passo 6
Substituindo
na primeira equação:
Então, se
,
; se
,
.
Passo 7
Agora, encontramos os valores de
e
. Vamos achar
:
Para
e
:
Para
e
:
Resposta
Os pontos da superfície
mais próximos da origem são
e
.