O gráfico da função g(x, y) = 1/(x * y) é uma superfície S no R^3. Encontre os pontos de S mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na superfície definida por que estão mais próximos da origem no espaço . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente otimização com derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na distância entre um ponto qualquer e a origem . A fórmula da distância é:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o quadrado da distância:
Como , podemos substituir:
Agora, precisamos minimizar em relação a e .

Passo 3

Para encontrar os mínimos, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
Primeira, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Simplificando:

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira:

Passo 6

Substituindo na primeira equação:
Então, se , ; se , .

Passo 7

Agora, encontramos os valores de e . Vamos achar :
Para e :
Para e :

Resposta

Os pontos da superfície mais próximos da origem são e .

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