Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
28.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função usando a série binomial e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a fórmula da série binomial, que é uma ferramenta poderosa para expandir expressões como essa em séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Note que pode ser expressa como . Isso porque , e ao inverter, temos .
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . A série binomial diz que:
onde é o coeficiente binomial generalizado, definido como:
No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos dessa série para entender o padrão. Primeiro, o coeficiente binomial:
Isso simplifica a série para:

Passo 5

Agora, voltando à nossa função original , vamos multiplicar cada termo da série por :
Podemos reindexar a soma para facilitar a leitura, substituindo por :
Mas para manter a generalidade, deixamos em termos de .

Passo 6

Então, a série de potência que representa é:
Ou, se preferir, podemos escrever:

Passo 7

Por último, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série binomial converge quando . Portanto, no nosso caso, a série converge para .

Resposta

A expansão da função em série de potências usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é .

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Encontre a soma da série.
22.
O gráfico da função é uma superfície no . Encontre os pontos de mais próximos da origem.
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
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