Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
28.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função
usando a série binomial e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a fórmula da série binomial, que é uma ferramenta poderosa para expandir expressões como essa em séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Note que
pode ser expressa como
. Isso porque
, e ao inverter, temos
.
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. A série binomial diz que:
onde
é o coeficiente binomial generalizado, definido como:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 4
Vamos calcular os primeiros termos dessa série para entender o padrão. Primeiro, o coeficiente binomial:
Isso simplifica a série para:
Passo 5
Agora, voltando à nossa função original
, vamos multiplicar cada termo da série por
:
Podemos reindexar a soma para facilitar a leitura, substituindo
por
:
Mas para manter a generalidade, deixamos em termos de
.
Passo 6
Então, a série de potência que representa
é:
Ou, se preferir, podemos escrever:
Passo 7
Por último, vamos determinar o raio de convergência
dessa série. A série binomial
converge quando
. Portanto, no nosso caso, a série converge para
.
Resposta
A expansão da função
em série de potências usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Encontre a soma da série.
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O gráfico da função
é uma superfície
no
. Encontre os pontos de
mais próximos da origem.
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
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