Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
30.
30.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para expandir a função
usando a série binomial. A matéria envolvida aqui é a Série Binomial, que é uma maneira de expandir expressões do tipo
em uma série de potências. Para resolver, precisamos aplicar a fórmula da série binomial e identificar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a forma
que a série binomial utiliza. A função dada é
. Podemos reescrever o denominador como
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a série binomial para expandir
. A fórmula da série binomial para
é:
onde
é o coeficiente binomial, que pode ser calculado como:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, onde
e
, temos:
Simplificando o termo dentro da soma:
Passo 5
Calculando os primeiros termos da série para entender o padrão, começamos com
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 6
Portanto, a série binomial expandida fica:
Passo 7
Agora, lembrando que a nossa função original tinha um
multiplicando essa série, vamos multiplicar cada termo da série por
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 8
Por fim, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série. A série binomial
converge quando
, ou seja, quando
. Como multiplicamos por
, isso não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
28.
28.
Encontre a soma da série.
22.
22.
Considere um paralelepípedo retângulo com 4 cm de largura, 5 cm de comprimento e
de volume. Determine sua altura e a diagonal.