Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
30.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para expandir a função usando a série binomial. A matéria envolvida aqui é a Série Binomial, que é uma maneira de expandir expressões do tipo em uma série de potências. Para resolver, precisamos aplicar a fórmula da série binomial e identificar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a forma que a série binomial utiliza. A função dada é . Podemos reescrever o denominador como .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a série binomial para expandir . A fórmula da série binomial para é:
onde é o coeficiente binomial, que pode ser calculado como:

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde e , temos:
Simplificando o termo dentro da soma:

Passo 5

Calculando os primeiros termos da série para entender o padrão, começamos com :
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 6

Portanto, a série binomial expandida fica:

Passo 7

Agora, lembrando que a nossa função original tinha um multiplicando essa série, vamos multiplicar cada termo da série por :
Fazendo a multiplicação:

Passo 8

Por fim, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série. A série binomial converge quando , ou seja, quando . Como multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é .

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