Mostre que a Série Geométrica
em que
e
são números reais (constantes), é convergente se
e a sua soma é
Mostre que se
, então, a Série Geométrica é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é pra gente analisar uma Série Geométrica, que tem a forma
. A matéria envolvida aqui é Convergência de Séries. Vamos precisar entender quando essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) e quando ela diverge, dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Série Geométrica. É uma soma infinita onde cada termo é o anterior multiplicado por uma constante
. Por exemplo, se
e
, a série fica
.
Passo 3
Agora, para saber se a série converge ou diverge, olhamos para o valor absoluto de
, ou seja,
. A regra básica é:
- Se
: A série converge, e podemos calcular sua soma usando a fórmula . - Se
: A série diverge, o que significa que ela não tem uma soma finita.
Passo 4
Vamos entender por que isso acontece. Quando
, cada termo seguinte da série fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso faz com que a soma total da série não cresça indefinidamente, permitindo calcular sua soma finita.
Por exemplo, se
:
Passo 5
Por outro lado, se
, os termos da série não diminuem e, na verdade, podem crescer ou se manter iguais. Isso faz com que a soma total da série continue aumentando sem limite, ou não se estabilize, ou seja, a série não tem uma soma finita.
Por exemplo, se
:
Aqui, os termos ficam cada vez maiores, então a soma vai para infinito.
Resposta
Assim, mostramos que se
, a Série Geométrica
é divergente.
Exercícios relacionados
Encontre a soma da série.
23.
23.
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Encontre a soma da série.
24.
24.