(2,0 pts ) Mostre que a Série Geométrica
sumn=1^infty a r^n-1=a+a r+a r^2+cdots
em que a e r são números reais (constantes), é convergente se |r|<1 e a sua soma é
sumn=1^infty a r^n-1=a1-r
Mostre que se |r| >= 1, então, a Série Geométrica é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é pra gente analisar uma Série Geométrica, que tem a forma . A matéria envolvida aqui é Convergência de Séries. Vamos precisar entender quando essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) e quando ela diverge, dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Série Geométrica. É uma soma infinita onde cada termo é o anterior multiplicado por uma constante . Por exemplo, se e , a série fica .

Passo 3

Agora, para saber se a série converge ou diverge, olhamos para o valor absoluto de , ou seja, . A regra básica é:
  • Se : A série converge, e podemos calcular sua soma usando a fórmula .
  • Se : A série diverge, o que significa que ela não tem uma soma finita.

Passo 4

Vamos entender por que isso acontece. Quando sumn=1^infty a (12)^n-1 = a (1 + 12 + 14 + 18 + cdots) = a1 - 12 = 2a , cada termo seguinte da série fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso faz com que a soma total da série não cresça indefinidamente, permitindo calcular sua soma finita.
Por exemplo, se :

Passo 5

Por outro lado, se sumn=1^infty a cdot 2^n-1 = a + 2a + 4a + 8a + cdots , os termos da série não diminuem e, na verdade, podem crescer ou se manter iguais. Isso faz com que a soma total da série continue aumentando sem limite, ou não se estabilize, ou seja, a série não tem uma soma finita.
Por exemplo, se :
Aqui, os termos ficam cada vez maiores, então a soma vai para infinito.

Resposta

Assim, mostramos que se , a Série Geométrica é divergente.

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