Encontre a soma da série.
24.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. Temos que encontrar a soma da série infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve potências de divididas por e pelo fatorial de . Para resolver isso, vamos precisar usar teoria de séries e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o manuseio. Podemos reescrever a série assim:
Isso é possível porque . Agora, a série fica um pouco mais simples:

Passo 3

Vamos lembrar de uma fórmula conhecida da série exponencial. Sabemos que:
Vamos tentar relacionar a nossa série com essa expressão. Note que na nossa série o fatorial está no denominador como em vez de .

Passo 4

Vamos manipular a nossa série para que ela se pareça mais com a série do . Observe que:
Então, podemos reescrever a série da seguinte forma:

Passo 5

Agora, vamos lembrar que existe uma relação entre séries envolvendo e integrais de séries exponenciais. De fato, temos a seguinte identidade:
Onde no nosso caso.

Passo 6

Aplicando essa identidade à nossa série, substituímos por :
Simplificando a fração, temos:

Resposta

A soma da série é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO
Mostre que a Série Geométrica
em que e são números reais (constantes), é convergente se e a sua soma é
Mostre que se , então, a Série Geométrica é divergente.
Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
Resolva as seguintes EDO