Encontre a soma da série.
24. sumn=0^infty x^n2^n(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. Temos que encontrar a soma da série infinita:
sumn=0^infty x^n2^n(n+1)!
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve potências de divididas por e pelo fatorial de . Para resolver isso, vamos precisar usar teoria de séries e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o manuseio. Podemos reescrever a série assim:
sumn=0^infty (x/2)^n(n+1)!
Isso é possível porque sumn=0^infty (x/2)^n(n+1)! . Agora, a série fica um pouco mais simples:

Passo 3

Vamos lembrar de uma fórmula conhecida da série exponencial. Sabemos que:
e^y = sumn=0^infty y^nn!
Vamos tentar relacionar a nossa série com essa expressão. Note que na nossa série o fatorial está no denominador como em vez de .

Passo 4

Vamos manipular a nossa série para que ela se pareça mais com a série do 1(n+1)! = 1(n+1) cdot n! . Observe que:
sumn=0^infty (x/2)^n(n+1) cdot n!
Então, podemos reescrever a série da seguinte forma:

Passo 5

Agora, vamos lembrar que existe uma relação entre séries envolvendo sumn=0^infty y^n(n+1)! = e^y - 1y e integrais de séries exponenciais. De fato, temos a seguinte identidade:
Onde no nosso caso.

Passo 6

Aplicando essa identidade à nossa série, substituímos sumn=0^infty (x/2)^n(n+1)! = e^x/2 - 1x/2 por e^x/2 - 1x/2 = 2(e^x/2 - 1)x :
Simplificando a fração, temos:

Resposta

A soma da série é:
sumn=0^infty x^n2^n(n+1)! = 2 ( e^,x/2 - 1 ),x

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