Encontre a soma da série.
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. Temos que encontrar a soma da série infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve potências de
divididas por
e pelo fatorial de
. Para resolver isso, vamos precisar usar teoria de séries e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o manuseio. Podemos reescrever a série assim:
Isso é possível porque
. Agora, a série fica um pouco mais simples:
Passo 3
Vamos lembrar de uma fórmula conhecida da série exponencial. Sabemos que:
Vamos tentar relacionar a nossa série com essa expressão. Note que na nossa série o fatorial está no denominador como
em vez de
.
Passo 4
Vamos manipular a nossa série para que ela se pareça mais com a série do
. Observe que:
Então, podemos reescrever a série da seguinte forma:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que existe uma relação entre séries envolvendo
e integrais de séries exponenciais. De fato, temos a seguinte identidade:
Onde
no nosso caso.
Passo 6
Aplicando essa identidade à nossa série, substituímos
por
:
Simplificando a fração, temos:
Resposta
A soma da série é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO
em que
e
são números reais (constantes), é convergente se
e a sua soma é
Mostre que se
, então, a Série Geométrica é divergente.
Resolva as seguintes EDO