(3 , 0 p t) Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
sumn=1^infty 4 n4 n+1

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos usar um teste bem útil chamado Teste da Divergência.

Passo 2

O Teste da Divergência é uma ferramenta que nos ajuda a verificar rapidamente se uma série não converge. Ele diz o seguinte: se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge. Em outras palavras, se , a série não tem soma finita.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste calculando o limite do termo geral da nossa série:
limn to infty 4n4n + 1
Para calcular esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por limn to infty 4n4n + 1 = limn to infty 44 + 1n :
limn to infty 44 + 0 = 44 = 1
Agora, conforme cresce, tende a zero:

Passo 4

Encontramos que:
limn to infty 4n4n + 1 = 1
Como esse limite é 1 e não 0, segundo o Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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