Usando o teste da raiz, determine se as séries são ou não convergentes:
(d) sumn=1^infty n^22^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teste da Raiz para determinar se a série converge ou não. Vamos precisar entender como funciona o Teste da Raiz e aplicar ele nessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando a raiz enésima do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Seja uma série. Calculamos .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. É L = limn to infty raiz[n]| n^22^n | . Aplicando o Teste da Raiz, temos que calcular:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, posso separar a expressão dentro da raiz:
raiz[n]n^22^n = raiz[n]n^2raiz[n]2^n
Sabemos que L = limn to infty raiz[n]n^22 , porque a raiz enésima de raiz[n]n^2 = n^2/n é simplesmente 2. Agora, temos:
limn to infty n^2/n = limn to infty e^ 2n ln(n) = e^0 = 1
Agora, vamos analisar . Podemos reescrever essa expressão como:
Sabemos que quando vai para o infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 5

Substituindo esse resultado no nosso limite L = limn to infty 12 = 12 , temos:
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raiz.

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