Usando o teste da raiz, determine se as séries são ou não convergentes:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teste da Raiz para determinar se a série converge ou não. Vamos precisar entender como funciona o Teste da Raiz e aplicar ele nessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando a raiz enésima do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Seja uma série. Calculamos .
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. É . Aplicando o Teste da Raiz, temos que calcular:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, posso separar a expressão dentro da raiz:
raiz[n]n^22^n = raiz[n]n^2raiz[n]2^n
Sabemos que L = limn to infty raiz[n]n^22 , porque a raiz enésima de raiz[n]n^2 = n^2/n é simplesmente 2. Agora, temos:
limn to infty n^2/n = limn to infty e^ 2n ln(n) = e^0 = 1
Agora, vamos analisar . Podemos reescrever essa expressão como:
Sabemos que quando vai para o infinito, tende a 0. Portanto:
Passo 5
Substituindo esse resultado no nosso limite L = limn to infty 12 = 12 , temos:
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.