Usando o teste da razão, determine se as séries são ou não convergentes:
(d) sumn=1^infty 3^n2^n n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Razão para descobrir se a série converge ou não. Esse teste é super útil para analisar séries onde os termos envolvem potências ou fatoriais. Vamos precisar lembrar que, no Teste da Razão, a gente calcula o limite do quociente entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Razão, a gente precisa calcular .

Passo 3

Vamos calcular o quociente an+1an = 3^n+12^n+1 (n+1)^33^n2^n n^3 = 3^n+12^n+1 (n+1)^3 times 2^n n^33^n = 3 cdot n^32 cdot (n+1)^3 :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando limn to infty 3 cdot n^32 cdot (n+1)^3 = 32 times limn to infty ( nn+1 )^3 = 32 times 1 = 32 tende ao infinito:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se o limite calculado for maior que 1, a série diverge. Como , podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge segundo o Teste da Razão.

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