Encontre a soma da série:
sumn=1^infty (-1)^n pi^2 n6^2 n(2 n)!

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar a soma da seguinte série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n pi^2n6^2n(2n)!
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e funções trigonométricas, especialmente a expansão em série do cosseno. Precisaremos reconhecer a forma da série e relacioná-la com fórmulas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a série começa no n=1. Mas, lembre-se que a expansão do cosseno é dada por:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Comparando com a nossa série, vemos que se considerarmos x = pi6, temos:
cos(pi6) = sumn=0^infty (-1)^n (pi6)^2n(2n)!

Passo 3

Nossa série é:
sumn=1^infty (-1)^n pi^2n6^2n(2n)! = sumn=1^infty (-1)^n (pi6)^2n(2n)!
Observamos que isso é igual à série do cosseno menos o primeiro termo (quando n=0). Então:
sumn=1^infty (-1)^n (pi6)^2n(2n)! = cos(pi6) - (-1)^0 (pi6)^00! = cos(pi6) - 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de cos(pi6). Sabemos que:
cos(pi6) = raiz32
Portanto:
cos(pi6) - 1 = raiz32 - 1

Resposta

A soma da série é raiz32 - 1.

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