Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando séries. Para isso, usaremos a série de Taylor da função seno e integraremos termo a termo. Vamos precisar conhecer a expansão em série da função seno e saber como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função seno em torno de 0:
Aqui, é a variável da função seno. No nosso caso, , então substituímos na série:

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo a série de de 0 a 1:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral, o que é permitido dentro do intervalo de convergência.

Passo 4

Vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Portanto, nossa série agora fica:

Passo 5

Para obter uma aproximação, vamos calcular os primeiros termos dessa série. Vamos calcular para até :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Somando esses três termos para obter a aproximação:
Podemos notar que os termos seguintes contribuem muito pouco para o total, então essa aproximação já é bastante razoável.

Resposta

O valor aproximado da integral é aproximadamente .

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onde é a distância entre a carga em e um ponto qualquer do espaço (exceto em ). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor colocada em sente é proporcional à taxa de variação do potencial em relação ao ponto , i.e.,
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Um método para determinar a umidade relativa do ar consiste em molhar o bulbo (a parte que contém o mercúrio) de um termômetro, agitá-lo pelo ar e, então, comparar a leitura do termômetro com a verdadeira temperatura do ar. Se a umidade for inferior a , então a temperatura obtida no termômetro será inferior à temperatura do ar. Essa diferença de temperatura é conhecida como a depressão do bulbo molhado. A tabela a seguir dá a umidade relativa do ar como uma função da temperatura do ar e da depressão do bulbo molhado. Use a tabela para completar as partes (a) a ©.
Estime a umidade relativa se a temperatura do ar for de e a depressão do bulbo molhado for .