Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida usando séries. Para isso, usaremos a série de Taylor da função seno e integraremos termo a termo. Vamos precisar conhecer a expansão em série da função seno e saber como integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função seno em torno de 0:
Aqui, é a variável da função seno. No nosso caso, , então substituímos na série:
Passo 3
Agora, vamos integrar termo a termo a série de de 0 a 1:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral, o que é permitido dentro do intervalo de convergência.
Passo 4
Vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Portanto, nossa série agora fica:
Passo 5
Para obter uma aproximação, vamos calcular os primeiros termos dessa série. Vamos calcular para até :
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Somando esses três termos para obter a aproximação:
Podemos notar que os termos seguintes contribuem muito pouco para o total, então essa aproximação já é bastante razoável.
Resposta
O valor aproximado da integral é aproximadamente .