Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
integral0^1 sen(x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando séries. Para isso, usaremos a série de Taylor da função seno e integraremos termo a termo. Vamos precisar conhecer a expansão em série da função seno e saber como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função seno em torno de 0:
sin(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)!
Aqui, sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! é a variável da função seno. No nosso caso, , então substituímos na série:

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo a série de integral0^1 sin(x^2) dx = integral0^1 sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral0^1 x^4n+2 dx de 0 a 1:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral, o que é permitido dentro do intervalo de convergência.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral0^1 x^4n+2 dx = x^4n+34n+3 |0^1 = 14n+3 de 0 a 1:
sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot 14n+3
Portanto, nossa série agora fica:

Passo 5

Para obter uma aproximação, vamos calcular os primeiros termos dessa série. Vamos calcular para (-1)^0(2 cdot 0 + 1)! cdot 14 cdot 0 + 3 = 11! cdot 13 = 13 approx 0,3333 até (-1)^1(2 cdot 1 + 1)! cdot 14 cdot 1 + 3 = -13! cdot 17 = -16 cdot 7 = -142 approx -0,0238 :
  • Para (-1)^2(2 cdot 2 + 1)! cdot 14 cdot 2 + 3 = 15! cdot 111 = 1120 cdot 11 = 11320 approx 0,000757 :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Somando esses três termos para obter a aproximação:
0,3333 - 0,0238 + 0,000757 approx 0,3103
Podemos notar que os termos seguintes contribuem muito pouco para o total, então essa aproximação já é bastante razoável.

Resposta

O valor aproximado da integral é aproximadamente .

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