Obtenha a série de Maclaurin para a série dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função dada
. A série de Maclaurin é uma maneira de expressar funções como somas infinitas de potências de
, e ela é super útil pra gente aproximar funções complicadas com polinômios mais simples. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin da função cosseno e adaptar para o nosso caso.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Maclaurin para
é dada por:
Isso significa que a função cosseno pode ser expandida como uma soma infinita onde
começa em 0 e vai aumentando, e cada termo envolve potências pares de
divididas pelo fatorial de
, alternando os sinais.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, ou seja, o argumento do cosseno é
ao invés de apenas
. Então, para adaptar a série de Maclaurin da
para
, substituímos
por
na série original:
Passo 4
Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos distribuir a potência de
para
e para
separadamente:
Isso nos dá a série de Maclaurin para
, expressa em termos de potências de
e constantes envolvendo
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
(a)
(a)
Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
Encontre a soma da série: