Obtenha a série de Maclaurin para a série dada:
f(x) = cos(pi x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função dada . A série de Maclaurin é uma maneira de expressar funções como somas infinitas de potências de , e ela é super útil pra gente aproximar funções complicadas com polinômios mais simples. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin da função cosseno e adaptar para o nosso caso.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que a função cosseno pode ser expandida como uma soma infinita onde começa em 0 e vai aumentando, e cada termo envolve potências pares de divididas pelo fatorial de , alternando os sinais.

Passo 3

No nosso caso, a função é , ou seja, o argumento do cosseno é ao invés de apenas . Então, para adaptar a série de Maclaurin da para , substituímos por na série original:

Passo 4

Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos distribuir a potência de para e para separadamente:
Isso nos dá a série de Maclaurin para , expressa em termos de potências de e constantes envolvendo .

Resposta

A série de Maclaurin para é:

Exercícios relacionados

Seja f(x, y) = x * y + 3. Determine
(a) f(x+y, x-y)
Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1n raizn
Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
integral0^0,5 cos (x^2) d x
Encontre a soma da série:
sumn=1^infty 3^n5^n cdot n!