Use o Teorema 3 para encontrar os seguintes limites:
(e) lim n infty 4^n1+9^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite de 4^n1+9^n quando n tende ao infinito. Vamos usar o Teorema 3, que geralmente nos ajuda a comparar o crescimento de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como as potências de números diferentes se comportam conforme o expoente aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as potências no numerador e no denominador da fração: temos 4^n no topo e 1 + 9^n na base da divisão. Sabemos que, conforme n cresce, as potências com bases maiores crescem mais rapidamente. Aqui, 9 é maior que 4, então 9^n cresce muito mais rápido que 4^n quando n fica grande.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por 9^n, que é a potência dominante no denominador:
4^n1 + 9^n = 4^n/9^n1/9^n + 1
Isso fica igual a:
(49)^n19^n + 1

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando n tende ao infinito:
  • A expressão (49)^n tende a 0, porque 49 é menor que 1 e qualquer número menor que 1 elevado a uma potência que vai para o infinito resulta em 0.
  • A expressão 19^n também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, a nossa fração fica:
00 + 1 = 0

Resposta

Portanto, o limite é boxed0.

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