Use o Teorema 3 para encontrar os seguintes limites:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite de
quando
tende ao infinito. Vamos usar o Teorema 3, que geralmente nos ajuda a comparar o crescimento de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como as potências de números diferentes se comportam conforme o expoente aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as potências no numerador e no denominador da fração: temos
no topo e
na base da divisão. Sabemos que, conforme
cresce, as potências com bases maiores crescem mais rapidamente. Aqui, 9 é maior que 4, então
cresce muito mais rápido que
quando
fica grande.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é a potência dominante no denominador:
Isso fica igual a:
Passo 4
Vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito:
- A expressão
tende a 0, porque é menor que 1 e qualquer número menor que 1 elevado a uma potência que vai para o infinito resulta em 0. - A expressão
também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, a nossa fração fica:
Resposta
Portanto, o limite é
.