Encontre a substituição correta para os limites
lim x x0 raiz[n]x-raiz[n]x0raiz[m]x-raiz[n]x0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um limite que envolve raízes de índices diferentes:
lim x x0 raiz[n]x - raiz[n]x0raiz[m]x - raiz[m]x0
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções de potência fracionária. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, facilitando o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa lim x x0 x^1n - x0^1nx^1m - x0^1m . Isso é equivalente a . Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Isso pode ajudar a visualizar melhor as operações que vamos realizar.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir uma nova variável t = x - x0 que mede a diferença entre x = x0 + t e :
Quando se aproxima de , se aproxima de 0. Então, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Substituindo lim t 0 (x0 + t)^1n - x0^1n(x0 + t)^1m - x0^1m na expressão original, temos:
Agora, nossa tarefa é simplificar essa expressão para encontrar o limite quando se aproxima de 0.

Passo 5

Para simplificar, vamos usar a aproximação de binômio para (x0 + t)^k approx x0^k + k cdot x0^k-1 cdot t quando (x0 + t)^1n - x0^1n approx 1n cdot x0^1n - 1 cdot t é pequeno:
(x0 + t)^1m - x0^1m approx 1m cdot x0^1m - 1 cdot t
Aplicando isso nas duas partes do numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
lim t 0 1n cdot x0^1n - 1 cdot t1m cdot x0^1m - 1 cdot t
Perceba que o no numerador e no denominador cancela, já que (estamos no limite).

Passo 7

Simplificando a expressão:
1n cdot x0^1n - 11m cdot x0^1m - 1 = mn cdot x0^(1n - 1) - (1m - 1)
Vamos simplificar o expoente de (1n - 1) - (1m - 1) = 1n - 1 - 1m + 1 = 1n - 1m :
mn cdot x0^1n - 1m
Então, a expressão fica:

Resposta

Portanto, a substituição correta para os limites é:
lim x x0 raiz[n]x - raiz[n]x0raiz[m]x - raiz[m]x0 = mn cdot x0^1n - 1m

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