Encontre a substituição correta para os limites
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um limite que envolve raízes de índices diferentes:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções de potência fracionária. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, facilitando o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é equivalente a
. Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Isso pode ajudar a visualizar melhor as operações que vamos realizar.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir uma nova variável
que mede a diferença entre
e
:
Quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Então, podemos reescrever
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão original, temos:
Agora, nossa tarefa é simplificar essa expressão para encontrar o limite quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Para simplificar, vamos usar a aproximação de binômio para
quando
é pequeno:
Aplicando isso nas duas partes do numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 6
Substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
Perceba que o
no numerador e no denominador cancela, já que
(estamos no limite).
Passo 7
Simplificando a expressão:
Vamos simplificar o expoente de
:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, a substituição correta para os limites é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
34.
34.
Encontre a substituição correta para os limites
Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
36.
36.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
109)
109)