Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
109) integral e^2 x cos 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica essencial no cálculo para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é escolher como a função que se simplifica quando derivamos e como a parte restante.

Passo 3

Vamos definir:
u = e^2x Rightarrow du = 2 e^2x , dx
dv = cos 3x , dx Rightarrow v = sin 3x3
Aqui, derivamos para obter e integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^2x cos 3x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^2x cdot sin 3x3 - integral sin 3x3 cdot 2 e^2x , dx
Simplificando:
= e^2x sin 3x3 - 23 integral e^2x sin 3x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = e^2x Rightarrow du = 2 e^2x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Definimos:
dv = sin 3x , dx Rightarrow v = -cos 3x3

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^2x sin 3x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^2x cdot (-cos 3x3) - integral (-cos 3x3) cdot 2 e^2x , dx
Simplificando:
= -e^2x cos 3x3 + 23 integral e^2x cos 3x , dx

Passo 7

Agora, vamos voltar à nossa expressão original:
integral e^2x cos 3x , dx = e^2x sin 3x3 - 23 ( -e^2x cos 3x3 + 23 integral e^2x cos 3x , dx )
Distribuindo o = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9 - 49 integral e^2x cos 3x , dx :

Passo 8

Agora, reunimos os termos semelhantes:
integral e^2x cos 3x , dx + 49 integral e^2x cos 3x , dx = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9
(1 + 49) integral e^2x cos 3x , dx = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9
139 integral e^2x cos 3x , dx = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9

Passo 9

Isolando a integral:
integral e^2x cos 3x , dx = 913 ( e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9 )
Simplificando:
= 3 e^2x sin 3x13 + 2 e^2x cos 3x13
= e^2x (3 sin 3x + 2 cos 3x)13

Resposta

A integral e^2x (3 sin 3x + 2 cos 3x)13 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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