Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
109)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função exponencial
multiplicada por uma função trigonométrica
. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica essencial no cálculo para integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Uma boa estratégia é escolher
como a função que se simplifica quando derivamos e
como a parte restante.
Passo 3
Vamos definir:
Aqui, derivamos
para obter
e integramos
para encontrar
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Definimos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos voltar à nossa expressão original:
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, reunimos os termos semelhantes:
Passo 9
Isolando a integral:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.