Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
36.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração da integral
e depois mudar a ordem de integração. Isso envolve entender um pouco de geometria no plano xy e como as integrais duplas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Na integral dada,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
. Isso significa que a região de integração está definida por:
Vamos desenhar isso no plano xy para visualizar melhor.
Passo 3
Desenhando no plano xy:
-
é o eixo x. -
é uma linha horizontal no nível y=1. -
é a linha que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
pode ser reescrita como , que é uma linha decrescente que cruza o eixo y em 2.
O cruzamento dessas linhas define um trapézio no primeiro quadrante.
Passo 4
Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando os limites:
-
varia de 0 até 2 - y, mas queremos expressar em termos de . - Para cada
, varia de 0 até o mínimo entre e .
Na verdade, a região é simétrica e podemos dividir a integral em duas partes:
- Para
de 0 a 1, vai de 0 a . - Para
de 1 a 2, vai de 0 a .
Passo 5
Então, a nova integral com a ordem de integração trocada fica:
Isso cobre toda a região de integração original, mas agora integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Resposta
A mudança da ordem de integração resulta na seguinte expressão:
Exercícios relacionados
Encontre a substituição correta para os limites
Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
34.
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Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
109)
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Calcule as derivadas abaixo usando a Regra da Cadeia e as regras de derivação.