Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
36. integral0^1 integraly^2-y f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração da integral
integral0^1 integraly^2-y f(x, y) , dx , dy
e depois mudar a ordem de integração. Isso envolve entender um pouco de geometria no plano xy e como as integrais duplas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Na integral dada, 0 <= y <= 1 e y <= x <= 2 - y varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Isso significa que a região de integração está definida por:
Vamos desenhar isso no plano xy para visualizar melhor.

Passo 3

Desenhando no plano xy:
  • é o eixo x.
  • é uma linha horizontal no nível y=1.
  • é a linha que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • pode ser reescrita como , que é uma linha decrescente que cruza o eixo y em 2.
O cruzamento dessas linhas define um trapézio no primeiro quadrante.

Passo 4

Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando os limites:
  • varia de 0 até 2 - y, mas queremos expressar em termos de .
  • Para cada , varia de 0 até o mínimo entre e .
Na verdade, a região é simétrica e podemos dividir a integral em duas partes:
  1. Para de 0 a 1, vai de 0 a .
  2. Para de 1 a 2, vai de 0 a .

Passo 5

Então, a nova integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^1 integral0^x f(x, y) , dy , dx + integral1^2 integral0^2 - x f(x, y) , dy , dx
Isso cobre toda a região de integração original, mas agora integramos primeiro em relação a e depois em relação a .

Resposta

A mudança da ordem de integração resulta na seguinte expressão:
integral0^1 integral0^x f(x, y) , dy , dx + integral1^2 integral0^2 - x f(x, y) , dy , dx

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