Se
para todo
em
, será que também,
?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que se
para todo vetor
em
, queremos saber se isso implica que
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operações com vetores e suas propriedades, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa o produto vetorial. Em
, o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. Mas, para simplificar, vamos pensar nas propriedades básicas desse produto.
Passo 3
Sabemos que o produto vetorial é linear em cada um dos seus componentes. Ou seja, para qualquer vetor
, a expressão
depende linearmente de
e de
.
Passo 4
Dado que
para todo
, podemos reorganizar essa equação subtraindo ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 5
A equação
significa que o vetor
cruzado com qualquer vetor
resulta no vetor nulo. O que isso nos diz sobre
?
Passo 6
Se o produto vetorial de um vetor com qualquer outro vetor é zero, isso só acontece se o vetor for o vetor nulo. Portanto:
Passo 7
Resolvendo a equação acima, temos:
Resposta
Sim, se
para todo
em
, então
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois vetores não nulos em
. Prove que o vetor
determina a bisectriz entre
e
.
Encontre o volume do paralelepipedo formado pelos vetores
, 1),
e
Encontre as superficies de nivel da função
.
Expresse cada uma das seguintes funções como função composta
; indicando
e
:
f
f