Se u * w = v * w para todo w em R^n, será que também, u = v ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que se para todo vetor em , queremos saber se isso implica que . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre operações com vetores e suas propriedades, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa o produto vetorial. Em , o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. Mas, para simplificar, vamos pensar nas propriedades básicas desse produto.

Passo 3

Sabemos que o produto vetorial é linear em cada um dos seus componentes. Ou seja, para qualquer vetor , a expressão depende linearmente de e de .

Passo 4

Dado que para todo , podemos reorganizar essa equação subtraindo ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 5

A equação significa que o vetor cruzado com qualquer vetor resulta no vetor nulo. O que isso nos diz sobre ?

Passo 6

Se o produto vetorial de um vetor com qualquer outro vetor é zero, isso só acontece se o vetor for o vetor nulo. Portanto:

Passo 7

Resolvendo a equação acima, temos:

Resposta

Sim, se para todo em , então .

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