Encontre sabendo que sua matriz em relação à base canônica é:
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformação linear sabendo qual é a matriz dela na base canônica. Então, o conteúdo aqui é Álgebra Linear, focando em Transformações Lineares e Matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma transformação linear é representada por uma matriz e como usar essa matriz para definir a própria transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear T(x) = A x pode ser representada por uma matriz de dimensão . Essa matriz transforma um vetor em no vetor em através da multiplicação matricial:
No nosso caso, a matriz dada é uma matriz , então a transformação mapeia vetores de para .
Passo 3
Vamos então identificar a matriz A = 1 & -1 & 0 2 & -2 & 1 3 & 0 & 1 fornecida:
x y z
Isso significa que, para um vetor T(x) = A x = 1 & -1 & 0 2 & -2 & 1 3 & 0 & 1 x y z em , a transformação será:
Passo 4
Agora, vamos fazer a multiplicação das matrizes para encontrar a expressão de T(x) = 1 cdot x + (-1) cdot y + 0 cdot z 2 cdot x + (-2) cdot y + 1 cdot z 3 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z :
T(x) = x - y 2x - 2y + z 3x + z
Simplificando cada componente:
Resposta
A transformação linear T(x, y, z) = x - y 2x - 2y + z 3x + z é dada por: