Encontre T: R^3 R^3, tal que N(T)=[(1,1,0),(0,0,1)] e Im(T)=[(1,1,1)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear que tenha:
  • Núcleo ( ) formado pelos vetores e .
  • Imagem ( ) formada pelo vetor .
Vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo e imagem de transformações lineares, e construir uma matriz que atenda a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de dim(Im(T)) + dim(N(T)) = 3 . O núcleo dim(Im(T)) = 1 é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Como nos foram dados dois vetores que formam a base do núcleo, sabemos que a dimensão do núcleo é 2.
Segundo o Teorema da Dimensão, a dimensão da imagem de mais a dimensão do núcleo de deve ser igual à dimensão do espaço de partida. Ou seja:
Como , temos:
Isso confirma que a imagem de é gerada por um único vetor, como nos foi dado.

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz A = a & b & c a & b & c a & b & c que representa a transformação . Sabemos que as colunas de devem gerar a imagem de , que é o espaço gerado pelo vetor . Portanto, todas as colunas de serão múltiplos desse vetor.
Podemos escrever a matriz da seguinte forma:
onde , e são escalares que vamos determinar.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o núcleo de A 1 1 0 = 0 0 0 seja gerado pelos vetores A 0 0 1 = 0 0 0 e . Isso significa que:
e
Vamos aplicar essas condições para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Primeiro, aplicando o vetor A 1 1 0 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = a + b a + b a + b = 0 0 0 :
a + b = 0 Rightarrow a = -b
Isso nos dá a equação:
A 0 0 1 = a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 = c c c = 0 0 0
Segundo, aplicando o vetor c = 0 :
Isso nos dá:

Passo 6

Com as equações A = -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 e , podemos escolher valores para e . Vamos escolher , então . Assim, a matriz fica:

Passo 7

Vamos verificar se essa matriz realmente satisfaz as condições iniciais.
  1. Núcleo:
A 1 1 0 = 0 e A 0 0 1 = 0
Conforme calculado anteriormente, está correto.
  1. Imagem:
    Todas as colunas de são múltiplos de , que é um múltiplo do vetor . Portanto, a imagem de é realmente o espaço gerado por .

Resposta

A transformação linear T = -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 que satisfaz as condições é representada pela matriz:

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