Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear que tenha:
Núcleo () formado pelos vetores e .
Imagem () formada pelo vetor .
Vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo e imagem de transformações lineares, e construir uma matriz que atenda a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Como nos foram dados dois vetores que formam a base do núcleo, sabemos que a dimensão do núcleo é 2.
Segundo o Teorema da Dimensão, a dimensão da imagem de mais a dimensão do núcleo de deve ser igual à dimensão do espaço de partida. Ou seja:
Como , temos:
Isso confirma que a imagem de é gerada por um único vetor, como nos foi dado.
Passo 3
Agora, vamos construir a matriz que representa a transformação . Sabemos que as colunas de devem gerar a imagem de , que é o espaço gerado pelo vetor . Portanto, todas as colunas de serão múltiplos desse vetor.
Podemos escrever a matriz da seguinte forma:
onde , e são escalares que vamos determinar.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que o núcleo de seja gerado pelos vetores e . Isso significa que:
e
Vamos aplicar essas condições para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Primeiro, aplicando o vetor :
Isso nos dá a equação:
Segundo, aplicando o vetor :
Isso nos dá:
Passo 6
Com as equações e , podemos escolher valores para e . Vamos escolher , então . Assim, a matriz fica:
Passo 7
Vamos verificar se essa matriz realmente satisfaz as condições iniciais.
Núcleo:
Conforme calculado anteriormente, está correto.
Imagem:
Todas as colunas de são múltiplos de , que é um múltiplo do vetor . Portanto, a imagem de é realmente o espaço gerado por .
Resposta
A transformação linear que satisfaz as condições é representada pela matriz: