Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o zero, seja exatamente o espaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo, imagem e matrizes de transformação. Precisamos encontrar uma matriz de tamanho que represente , de modo que seja o espaço dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo . O núcleo é o conjunto de vetores tal que . Como é gerado por e , qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Vamos chamar a matriz de de , então deve satisfazer para qualquer no núcleo.
Passo 3
Vamos montar a matriz . Como é uma matriz , ela terá a forma:
Precisamos que e . Vamos multiplicar:
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver essas equações:
Da segunda condição :
Dessa forma, as equações da primeira condição ficam:
Isso significa que e . Podemos escolher e como parâmetros livres. Vamos definir e para simplificar.
Então:
Passo 5
Agora, podemos montar a matriz com os valores encontrados:
Essa matriz satisfaz as condições do enunciado, já que qualquer vetor no núcleo será mapeado para zero, e a transformação está corretamente definida de para .
Resposta
A transformação linear que satisfaz é dada pela matriz: