Encontre , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o zero, seja exatamente o espaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo, imagem e matrizes de transformação. Precisamos encontrar uma matriz de tamanho que represente , de modo que seja o espaço dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo . O núcleo é o conjunto de vetores tal que . Como é gerado por e , qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Vamos chamar a matriz de de , então deve satisfazer para qualquer no núcleo.

Passo 3

Vamos montar a matriz . Como é uma matriz , ela terá a forma:
Precisamos que e . Vamos multiplicar:
Para :
Para :

Passo 4

Vamos resolver essas equações:
Da segunda condição :
Dessa forma, as equações da primeira condição ficam:
Isso significa que e . Podemos escolher e como parâmetros livres. Vamos definir e para simplificar.
Então:

Passo 5

Agora, podemos montar a matriz com os valores encontrados:
Essa matriz satisfaz as condições do enunciado, já que qualquer vetor no núcleo será mapeado para zero, e a transformação está corretamente definida de para .

Resposta

A transformação linear que satisfaz é dada pela matriz:

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Este problema, adaptado de (KOLMAN; HILL, 2011), envolve o uso de pesticidas, os quais são substâncias químicas usadas para repelir, destruir e controlar pragas, ervas daninhas ou outros organismos que afetam o crescimento das plantas. Uma vez que são aplicados nas plantas, os pesticidas são absorvidos pelos animais herbívoros que se alimentam dessas plantas. Nesse contexto, suponha que três espécies de animais herbívoros e alimentem-se das espécies de plantas e . Considere que a matriz apresenta a quantidade em mg de pesticida absorvida por cada planta e , enquanto que a matriz apresenta a quantidade em de pesticida absorvida por cada herbívoro , e .
Com as informações apresentadas resolva os itens a seguir:
(a) Determine a quantidade em mg de pesticida que foi absorvida por cada herbívoro e .
(b) Qual o conceito do conteúdo de matrizes foi utilizado para resolver o item (a)?
Obtenha equações paramétricas dos planos:
a)
b) ;
c)
d) .