Encontre T: R^3 R^2, tal que N(T)=[(1,1,1),(0,1,0)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o zero, seja exatamente o espaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo, imagem e matrizes de transformação. Precisamos encontrar uma matriz de tamanho que represente , de modo que seja o espaço dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo . O núcleo é o conjunto de vetores tal que . Como é gerado por e , qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Vamos chamar a matriz de de , então deve satisfazer para qualquer no núcleo.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = a & b & c d & e & f . Como 1 1 1 é uma matriz 0 0, ela terá a forma:
0 1 0
Precisamos que 0 0 e a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 1 = 0 . Vamos multiplicar:
Para a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0 :
Para :

Passo 4

Vamos resolver essas equações:
Da segunda condição b = 0 e = 0 :
a + 0 + c = 0 implies a + c = 0 d + 0 + f = 0 implies d + f = 0
Dessa forma, as equações da primeira condição a = -1 d = -1 ficam:
Isso significa que e . Podemos escolher e como parâmetros livres. Vamos definir e para simplificar.
Então:

Passo 5

Agora, podemos montar a matriz A = -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 com os valores encontrados:
Essa matriz satisfaz as condições do enunciado, já que qualquer vetor no núcleo será mapeado para zero, e a transformação está corretamente definida de para .

Resposta

A transformação linear T = -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 que satisfaz é dada pela matriz:

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