Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o zero, seja exatamente o espaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo, imagem e matrizes de transformação. Precisamos encontrar uma matriz de tamanho que represente , de modo que seja o espaço dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo . O núcleo é o conjunto de vetores tal que . Como é gerado por e , qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Vamos chamar a matriz de de , então deve satisfazer para qualquer no núcleo.
Passo 3
Vamos montar a matriz . Como é uma matriz , ela terá a forma:
Precisamos que e a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 1 = 0 . Vamos multiplicar:
Para a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0 :
Para :
Passo 4
Vamos resolver essas equações:
Da segunda condição b = 0 e = 0 :
a + 0 + c = 0 implies a + c = 0 d + 0 + f = 0 implies d + f = 0
Dessa forma, as equações da primeira condição a = -1 d = -1 ficam:
Isso significa que e . Podemos escolher e como parâmetros livres. Vamos definir e para simplificar.
Então:
Passo 5
Agora, podemos montar a matriz A = -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 com os valores encontrados:
Essa matriz satisfaz as condições do enunciado, já que qualquer vetor no núcleo será mapeado para zero, e a transformação está corretamente definida de para .
Resposta
A transformação linear T = -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 que satisfaz é dada pela matriz: