Verificar se as aplicações são transformações lineares:
b)
definida por
b)
Passo 1
Vamos verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e quais propriedades devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores em . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar essas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam
e
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
sobre
:
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
sobre
:
Como
, a propriedade da homogeneidade é satisfeita.
Resposta
A aplicação
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto,
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Dados os complexos
e
calcule:
D)
D)
Encontre
, tal que
e
.
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
d) definida por
d)
Verificar se as aplicações são transformações lineares:
e) definida por
e)