Verificar se as aplicações são transformações lineares:
b) G: R^3 R^3 definida por G(x, y, z)=(x-z, y+z, x-y)

Passo 1

Vamos verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e quais propriedades devemos verificar.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar essas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam G(u + v) = ((x1 + x2) - (z1 + z2), (y1 + y2) + (z1 + z2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) e = (x1 - z1 + x2 - z2, y1 + z1 + y2 + z2, x1 - y1 + x2 - y2) .
Primeiro, calculamos G(u) = (x1 - z1, y1 + z1, x1 - y1) .
Aplicando G(v) = (x2 - z2, y2 + z2, x2 - y2) sobre G(u) + G(v) = ((x1 - z1) + (x2 - z2), (y1 + z1) + (y2 + z2), (x1 - y1) + (x2 - y2)) :
= (x1 - z1 + x2 - z2, y1 + z1 + y2 + z2, x1 - y1 + x2 - y2)
Agora, calculamos :
Como , a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja G(cu) = (cx - cz, cy + cz, cx - cy) um escalar e = c(x - z, y + z, x - y) .
Primeiro, calculamos = cG(u) .
Aplicando sobre :
Como , a propriedade da homogeneidade é satisfeita.

Resposta

A aplicação satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto, é uma transformação linear.

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