Encontre a taxa máxima de variação de
no ponto
e determine em que direção ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa máxima de variação da função
no ponto
e descobrir em que direção essa variação ocorre. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa máxima de variação. Em cálculo multivariável, a taxa máxima de variação de uma função em um ponto é dada pela magnitude do vetor gradiente da função nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja,
Passo 4
Primeiro, encontramos a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função:
Passo 7
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo
e
:
Para a componente em
:
Para a componente em
:
Portanto,
Passo 8
A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente no ponto
. Calculamos assim:
Passo 9
A direção na qual ocorre a taxa máxima de variação é a direção do vetor gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:
Resposta
A taxa máxima de variação da função no ponto
é
aproximadamente igual a 6,32, ocorrendo na direção do vetor
.
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Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e
e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
.
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto ?
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Determine e esboce o domínio da função
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.
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
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.
Determe a derivada direcional da temperatura no ponto e na direção de
.
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