Encontre a taxa máxima de variação de no ponto e determine em que direção ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa máxima de variação da função no ponto e descobrir em que direção essa variação ocorre. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa máxima de variação. Em cálculo multivariável, a taxa máxima de variação de uma função em um ponto é dada pela magnitude do vetor gradiente da função nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja,

Passo 4

Primeiro, encontramos a derivada parcial de em relação a :
Usamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função:

Passo 7

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo e :
Para a componente em :
Para a componente em :
Portanto,

Passo 8

A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente no ponto . Calculamos assim:

Passo 9

A direção na qual ocorre a taxa máxima de variação é a direção do vetor gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:
çã

Resposta

A taxa máxima de variação da função no ponto é aproximadamente igual a 6,32, ocorrendo na direção do vetor .

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