Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que descreve a distribuição de temperatura no plano :
Nosso objetivo é encontrar a taxa máxima de variação dessa temperatura em um ponto específico . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção e a taxa máxima de variação de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, o gradiente fica:

Passo 6

A taxa máxima de variação da temperatura no ponto é dada pela magnitude do vetor gradiente nesse ponto. A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Fatorando 57600:

Passo 8

Finalmente, extraindo a raiz quadrada:

Resposta

A taxa máxima de variação da temperatura no ponto é:

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Encontre a taxa máxima de variação de no ponto e determine em que direção ocorre.
Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto ?
Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Determe a derivada direcional da temperatura no ponto e na direção de .
Determine se é par, ímpar, ou se nenhum dos dois casos se aplica. Se for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico.
(g)