Suponha que a função T(x, y) = 60 / ((x^2 + y^2)^2), em que T é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano x y.
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que descreve a distribuição de temperatura no plano xy:
Nosso objetivo é encontrar a taxa máxima de variação dessa temperatura em um ponto específico P. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção e a taxa máxima de variação de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função T(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de T em relação a x:
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de T em relação a y:
Simplificando:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, o gradiente fica:

Passo 6

A taxa máxima de variação da temperatura no ponto P é dada pela magnitude do vetor gradiente nesse ponto. A magnitude de um vetor (a, b) é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Fatorando 57600:

Passo 8

Finalmente, extraindo a raiz quadrada:

Resposta

A taxa máxima de variação da temperatura no ponto P é:

Exercícios relacionados