Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que descreve a distribuição de temperatura no plano :
Nosso objetivo é encontrar a taxa máxima de variação dessa temperatura em um ponto específico . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção e a taxa máxima de variação de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, o gradiente fica:
Passo 6
A taxa máxima de variação da temperatura no ponto é dada pela magnitude do vetor gradiente nesse ponto. A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Fatorando 57600:
Passo 8
Finalmente, extraindo a raiz quadrada:
Resposta
A taxa máxima de variação da temperatura no ponto é: