Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o termo geral da sequência das somas parciais da série
. Depois, precisamos verificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, descobrir o valor da sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries telescópicas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos com
e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Assim:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, a fração se torna:
Passo 3
Agora, vamos escrever a soma parcial
da série até o termo
:
Observamos que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando expandimos a soma:
Perceba que
cancela com
,
com
e assim por diante. O que sobra é:
Passo 4
Para encontrar o termo geral das somas parciais, já temos:
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais da série.
Passo 5
Agora, vamos analisar a convergência da série. Para isso, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
O termo geral das somas parciais é
. A série converge e sua soma é
.