Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(a) sumn=1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o termo geral da sequência das somas parciais da série . Depois, precisamos verificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, descobrir o valor da sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries telescópicas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série 1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1 . Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que nos ajuda a dividir a expressão em partes mais simples. Queremos escrever:
1 = A(2n+1) + B(2n-1)
Multiplicando ambos os lados por 1 = (2A + 2B)n + (A - B) , temos:
2A + 2B = 0 (coeficiente de n)
Agora, vamos resolver para A - B = 1 (termo constante) e - B - B = 1 Rightarrow -2B = 1 Rightarrow B = -12 . Expandindo:
A = -B = 12
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo 1(2n-1)(2n+1) = 12(12n-1 - 12n+1) , os coeficientes dos termos com e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Assim:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, a fração se torna:

Passo 3

Agora, vamos escrever a soma parcial SN = sumn=1^N 1(2n-1)(2n+1) = 12 sumn=1^N (12n-1 - 12n+1) da série até o termo SN = 12 ( (11 - 13) + (13 - 15) + dots + (12N-1 - 12N+1) ) :
SN = 12 (1 - 12N+1)
Observamos que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando expandimos a soma:
Perceba que cancela com , com e assim por diante. O que sobra é:

Passo 4

Para encontrar o termo geral das somas parciais, já temos:
SN = 12 (1 - 12N+1)
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais da série.

Passo 5

Agora, vamos analisar a convergência da série. Para isso, calculamos o limite de limN to infty SN = limN to infty 12 (1 - 12N+1) = 12 (1 - 0) = 12 quando tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

O termo geral das somas parciais é . A série converge e sua soma é .

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