Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível. sumn=1^infty 2^n-15^n

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a série . O objetivo é encontrar o termo geral da sequência de somas parciais dessa série e, em seguida, determinar se a série converge ou diverge, calculando a soma dela se for possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. A série dada é:
an = 2^n-15^n
Podemos simplificar esse termo para facilitar o reconhecimento de uma série geométrica:
an = 2^n-15^n = 2^n2 cdot 5^n = 12 (25)^n
Isso mostra que a série é uma série geométrica com razão e o primeiro termo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o termo geral da sequência de somas parciais Sn = a1 cdot 1 - r^n1 - r . Para uma série geométrica, a soma parcial é dada por:
Sn = 15 cdot 1 - (25)^n1 - 25 = 15 cdot 1 - (25)^n35 = 13 (1 - (25)^n)
Substituindo os valores que encontramos:
Sn = 13 (1 - (25)^n)
Portanto, o termo geral da sequência de somas parciais é:

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar a razão . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Aqui, , e . Portanto, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular sua soma. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a11 - r
Substituindo os valores:
S = 151 - 25 = 1535 = 13

Resposta

O termo geral da sequência de somas parciais é . A série converge e sua soma é .

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