Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a série . O objetivo é encontrar o termo geral da sequência de somas parciais dessa série e, em seguida, determinar se a série converge ou diverge, calculando a soma dela se for possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. A série dada é:
Podemos simplificar esse termo para facilitar o reconhecimento de uma série geométrica:
Isso mostra que a série é uma série geométrica com razão e o primeiro termo .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o termo geral da sequência de somas parciais . Para uma série geométrica, a soma parcial é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto, o termo geral da sequência de somas parciais é:
Passo 4
Para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar a razão . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Aqui, , e . Portanto, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular sua soma. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
O termo geral da sequência de somas parciais é . A série converge e sua soma é .