Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a série . O objetivo é encontrar o termo geral da sequência de somas parciais dessa série e, em seguida, determinar se a série converge ou diverge, calculando a soma dela se for possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. A série dada é:
Podemos simplificar esse termo para facilitar o reconhecimento de uma série geométrica:
Isso mostra que a série é uma série geométrica com razão e o primeiro termo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o termo geral da sequência de somas parciais . Para uma série geométrica, a soma parcial é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto, o termo geral da sequência de somas parciais é:

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar a razão . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Aqui, , e . Portanto, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular sua soma. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

O termo geral da sequência de somas parciais é . A série converge e sua soma é .

Exercícios relacionados

Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
(g)
Suponha que as funções e sejam deriváveis e que .
(a) Se , mostre que .
Se , se e , mostre que as derivadas parciais e embora existam na origem, a função não é diferenciável em .
Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano.
e