Se f(x, y, z) = x * y * z / (x^2 + y^2 + z^2), se (x, y, z) diferente de 0 e f(0, 0, 0) = 0, mostre que as derivadas parciais fx, fy e fz embora existam na origem, a função f não é diferenciável em 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função de três variáveis quando e definir . Precisamos mostrar que as derivadas parciais , e existem na origem, mas que a função não é diferenciável nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, limites e diferenciabilidade de funções multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais , e na origem. Lembrando que a derivada parcial em relação a na origem é definida por:
Como , temos:
Calculando :
Portanto:
O mesmo raciocínio vale para e , já que, se uma das variáveis for zero, o numerador é zero. Ou seja:

Passo 3

Agora que sabemos que as derivadas parciais existem e são iguais a zero na origem, vamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Para que seja diferenciável em , o limite:
deve ser igual a zero. Como e as derivadas parciais também são zero, o limite simplifica para:
Vamos analisar esse limite. Substituindo :
Vamos avaliar esse limite ao longo de diferentes trajetórias. Por exemplo, se tomarmos , temos:
Como o limite depende da trajetória escolhida e não é sempre zero, concluímos que o limite não existe.

Resposta

Portanto, mesmo que as derivadas parciais , e existam na origem, a função não é diferenciável em .

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