Se
, se
e
, mostre que as derivadas parciais
e
embora existam na origem, a função
não é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função de três variáveis
quando
e definir
. Precisamos mostrar que as derivadas parciais
,
e
existem na origem, mas que a função
não é diferenciável nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, limites e diferenciabilidade de funções multivariáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais
,
e
na origem. Lembrando que a derivada parcial em relação a
na origem é definida por:
Como
, temos:
Calculando
:
Portanto:
O mesmo raciocínio vale para
e
, já que, se uma das variáveis for zero, o numerador é zero. Ou seja:
Passo 3
Agora que sabemos que as derivadas parciais existem e são iguais a zero na origem, vamos verificar se a função
é diferenciável nesse ponto. Para que
seja diferenciável em
, o limite:
deve ser igual a zero. Como
e as derivadas parciais também são zero, o limite simplifica para:
Vamos analisar esse limite. Substituindo
:
Vamos avaliar esse limite ao longo de diferentes trajetórias. Por exemplo, se tomarmos
, temos:
Como o limite depende da trajetória escolhida e não é sempre zero, concluímos que o limite não existe.
Resposta
Portanto, mesmo que as derivadas parciais
,
e
existam na origem, a função
não é diferenciável em
.
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, no ponto
indicado:
(g)
(g)
Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano.
e
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