Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das curvas a seguir, justificando seu cálculo com o respectivo limite.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais das curvas dadas. A gente vai precisar usar conceitos de limites e entender como o comportamento das funções se comporta quando
vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) da questão:
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de
que fazem o denominador ser zero, mas o numerador não é zero nesse mesmo ponto.
Para isso, resolvemos a equação do denominador igual a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Pode ser fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara.
Fatorando:
Então, as raízes são:
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos.
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos duas assíntotas verticais em:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende a
e
.
Observamos que os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos são polinômios de grau 2). Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
O coeficiente líder do numerador é 2 e do denominador é 1. Então:
Portanto, a assíntota horizontal é:
Passo 4
Agora vamos para a parte (b) da questão:
Primeiro, identificamos as assíntotas verticais. Novamente, elas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador da fração ser zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto.
Resolvendo o denominador:
Fatorando:
Então, as raízes são:
Verificando o numerador nesses pontos:
Para
:
Para
:
No ponto
, tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que indica que pode haver uma simplificação (possível furo na curva, não uma assíntota vertical). Já para
, apenas o denominador é zero, então temos uma assíntota vertical em:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais para a parte (b). Observamos que a função tem o termo
, que cresce exponencialmente à medida que
tende a infinito e decresce para zero quando
tende a menos infinito.
Analise do comportamento:
-
Quando
: -
cresce para . - A fração
tende para (graus iguais). - Então,
tende a .
-
-
Quando
: -
tende a 0. - A fração tende a
. - Então,
tende a 1.
-
Portanto, há uma assíntota horizontal quando
tende a menos infinito:
Não há assíntota horizontal quando
tende a mais infinito, pois a função cresce sem limite devido ao termo
.
Resposta
(a)
- Assíntotas Verticais:
e - Assíntota Horizontal:
(b)
- Assíntota Vertical:
- Assíntota Horizontal: