Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das curvas a seguir, justificando seu cálculo com o respectivo limite.
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais das curvas dadas. A gente vai precisar usar conceitos de limites e entender como o comportamento das funções se comporta quando vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) da questão:
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de que fazem o denominador ser zero, mas o numerador não é zero nesse mesmo ponto.
Para isso, resolvemos a equação do denominador igual a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Pode ser fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara.
Fatorando:
Então, as raízes são:
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos.
Para :
Para :
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos duas assíntotas verticais em:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende a e .
Observamos que os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos são polinômios de grau 2). Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
O coeficiente líder do numerador é 2 e do denominador é 1. Então:
Portanto, a assíntota horizontal é:

Passo 4

Agora vamos para a parte (b) da questão:
Primeiro, identificamos as assíntotas verticais. Novamente, elas ocorrem nos valores de que fazem o denominador da fração ser zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto.
Resolvendo o denominador:
Fatorando:
Então, as raízes são:
Verificando o numerador nesses pontos:
Para :
Para :
No ponto , tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que indica que pode haver uma simplificação (possível furo na curva, não uma assíntota vertical). Já para , apenas o denominador é zero, então temos uma assíntota vertical em:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais para a parte (b). Observamos que a função tem o termo , que cresce exponencialmente à medida que tende a infinito e decresce para zero quando tende a menos infinito.
Analise do comportamento:
  • Quando :
    • cresce para .
    • A fração tende para (graus iguais).
    • Então, tende a .
  • Quando :
    • tende a 0.
    • A fração tende a .
    • Então, tende a 1.
Portanto, há uma assíntota horizontal quando tende a menos infinito:
Não há assíntota horizontal quando tende a mais infinito, pois a função cresce sem limite devido ao termo .

Resposta

(a)
  • Assíntotas Verticais: e
  • Assíntota Horizontal:
(b)
  • Assíntota Vertical:
  • Assíntota Horizontal:

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A equação de uma reta pode ser dada na forma , onde é o coeficiente angular e é um ponto da reta. Use essa forma para determinar a equação da reta nos casos a seguir.
e
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos dados.
e
Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
Levando em conta os valores para as funções dados nas tabelas, faça o que se pede:
0 1 2 3 4 5
10 6 3 4 7 11
0 1 2 3 4 5
:—: :—: :—: :—: :—: :—: :—:
2 3 5 8 12 15
Calcule a taxa de variação média de entre e .