Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Essas derivadas representam a taxa de variação de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Calculando
:
Usamos a regra do quociente: se
, então
.
Aqui,
e
.
Primeiro, encontramos
.
Depois,
.
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Calculando
:
Usamos novamente a regra do quociente.
Aplicando a regra:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
.
Começaremos com
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Calculando
:
Tomamos a derivada de
em relação a
.
Usamos a regra do quociente novamente, onde
e
.
Primeiro, encontramos
.
Depois,
.
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Combinando termos semelhantes:
Então:
Passo 7
Calculando
:
Tomamos a derivada de
em relação a
.
Usamos a regra do quociente, onde
e
.
Primeiro,
.
Depois,
.
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Combinando termos semelhantes:
Então:
Passo 8
Calculando
:
Devido à propriedade de igualdade das derivadas mistas (desde que as funções sejam suficientemente suaves), temos que
. Portanto:
Passo 9
Calculando
:
Tomamos a derivada de
em relação a
.
Usamos a regra do quociente, onde
e
.
Primeiro,
(já que não há
na expressão).
Depois,
.
Aplicando a regra:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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onde
e
são constantes.
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