Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50. w = (x - y) / (x^2 + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Essas derivadas representam a taxa de variação de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Calculando :
Usamos a regra do quociente: se , então .
Aqui, e .
Primeiro, encontramos .
Depois, .
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Calculando :
Usamos novamente a regra do quociente.
, então .
, então .
Aplicando a regra:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , , e .
Começaremos com , que é a derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Calculando :
Tomamos a derivada de em relação a .
Usamos a regra do quociente novamente, onde e .
Primeiro, encontramos .
Depois, .
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Combinando termos semelhantes:
Então:

Passo 7

Calculando :
Tomamos a derivada de em relação a .
Usamos a regra do quociente, onde e .
Primeiro, .
Depois, .
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Combinando termos semelhantes:
Então:

Passo 8

Calculando :
Devido à propriedade de igualdade das derivadas mistas (desde que as funções sejam suficientemente suaves), temos que . Portanto:

Passo 9

Calculando :
Tomamos a derivada de em relação a .
Usamos a regra do quociente, onde e .
Primeiro, (já que não há na expressão).
Depois, .
Aplicando a regra:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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