Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Esse tipo de problema envolve conhecimentos sobre EDOs lineares, soluções gerais e equações características. Vamos precisar entender como cada termo da solução está relacionado com as raízes da equação característica da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada parte da solução geral e entender de onde vêm:
-
Termos Polinomiais (
): - Esses termos indicam que
é uma raiz da equação característica com multiplicidade 3. Isso porque temos , e o termo constante .
- Esses termos indicam que
-
Termos Exponenciais (
): - Aqui,
é uma raiz da equação característica com multiplicidade 2. Os termos e mostram essa multiplicidade.
- Aqui,
-
Termos Trigonométricos (
): - Esses termos vêm de raízes complexas da forma
, já que e aparecem quando temos raízes imaginárias.
- Esses termos vêm de raízes complexas da forma
Passo 3
Agora, vamos construir a equação característica com base nessas raízes:
-
Raízes Reais Múltiplas:
- Para a raiz
com multiplicidade 3: - Para a raiz
com multiplicidade 2:
- Para a raiz
-
Raízes Complexas:
- Para as raízes
:
- Para as raízes
Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos expandir essa equação para obter o polinômio característico completo:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Então, o polinômio característico completo é:
Passo 5
Finalmente, para obter a EDO, igualamos o polinômio característico a zero e substituímos
por
, o operador diferencial (onde
):
Escrevendo de forma expandida, temos:
Resposta
A EDO linear homogênea é:
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Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes.
Encontre a carga estacionária e a corrente estacionária em um circuito em série LRC quando
. OBS: A carga estacionária é o termo da carga que não tende a zero quando $t \rightarrow+\infty .
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
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