Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
y = A x^2 + B x + C + D e^(-2 x) + E x e^(-2 x) + F sen x + G cos x
onde A, B, C, D, E, F e G são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Esse tipo de problema envolve conhecimentos sobre EDOs lineares, soluções gerais e equações características. Vamos precisar entender como cada termo da solução está relacionado com as raízes da equação característica da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada parte da solução geral e entender de onde vêm:
  1. Termos Polinomiais ( ):
    • Esses termos indicam que 0 é uma raiz da equação característica com multiplicidade 3. Isso porque temos x^2, x e o termo constante C.
  2. Termos Exponenciais ( ):
    • Aqui, -2 é uma raiz da equação característica com multiplicidade 2. Os termos e mostram essa multiplicidade.
  3. Termos Trigonométricos ( ):
    • Esses termos vêm de raízes complexas da forma , já que sen x e cos(x) aparecem quando temos raízes imaginárias.

Passo 3

Agora, vamos construir a equação característica com base nessas raízes:
  • Raízes Reais Múltiplas:
    • Para a raiz 0 com multiplicidade 3:
    • Para a raiz -2 com multiplicidade 2:
  • Raízes Complexas:
    • Para as raízes :
Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos expandir essa equação para obter o polinômio característico completo:
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos o resultado por :
Então, o polinômio característico completo é:

Passo 5

Finalmente, para obter a EDO, igualamos o polinômio característico a zero e substituímos r por D, o operador diferencial (onde ):
Escrevendo de forma expandida, temos:

Resposta

A EDO linear homogênea é:

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Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
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