Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Aqui,
e
são constantes. Para chegar na EDO desejada, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a ideia de equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a solução geral fornecida está composta por duas partes principais:
- Termos polinomiais:
- Termos envolvendo exponenciais:
Cada uma dessas partes está associada a raízes específicas da equação característica da EDO que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos começar com os termos polinomiais
. Esses termos indicam que a equação característica tem uma raiz real igual a 0. O termo
corresponde a uma raiz simples, e
sugere que essa raiz tem multiplicidade 2. Portanto, temos:
- Raiz
com multiplicidade 2.
Passo 4
Agora, observamos os termos exponenciais
. Esses termos indicam que a equação característica tem uma raiz real igual a 3. A presença de múltiplos termos envolvendo potências de
multiplicando
sugere que essa raiz tem multiplicidade 4. Ou seja:
- Raiz
com multiplicidade 4.
Passo 5
Com as raízes identificadas, podemos escrever a equação característica da EDO. Sabemos que se uma raiz
tem multiplicidade
, ela contribui com um fator
na equação característica, onde
é a raiz.
Assim, para nossas raízes:
- Para
com multiplicidade 2: - Para
com multiplicidade 4:
Portanto, a equação característica é:
Passo 6
Agora, vamos expandir a equação característica para obter o polinômio completo:
Primeiro, expandimos
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Com o polinômio característico expandido, podemos escrever a Equação Diferencial Ordinária (EDO) associada. Sabemos que cada termo
do polinômio corresponde à derivada
da função
.
Portanto, substituindo
por
, a EDO fica:
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária linear homogênea cuja solução geral é dada por
é
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onde
e
são constantes.
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