Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
y = A x + B + C e^(3 x) + D x e^(3 x) + E x^(2) e^(3 x) + F x^(3) e^(3 x)
onde A, B, C, D, E e F são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Aqui, e são constantes. Para chegar na EDO desejada, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a ideia de equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a solução geral fornecida está composta por duas partes principais:
  1. Termos polinomiais:
  2. Termos envolvendo exponenciais:
Cada uma dessas partes está associada a raízes específicas da equação característica da EDO que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos começar com os termos polinomiais . Esses termos indicam que a equação característica tem uma raiz real igual a 0. O termo corresponde a uma raiz simples, e sugere que essa raiz tem multiplicidade 2. Portanto, temos:
  • Raiz com multiplicidade 2.

Passo 4

Agora, observamos os termos exponenciais . Esses termos indicam que a equação característica tem uma raiz real igual a 3. A presença de múltiplos termos envolvendo potências de multiplicando sugere que essa raiz tem multiplicidade 4. Ou seja:
  • Raiz com multiplicidade 4.

Passo 5

Com as raízes identificadas, podemos escrever a equação característica da EDO. Sabemos que se uma raiz tem multiplicidade , ela contribui com um fator na equação característica, onde é a raiz.
Assim, para nossas raízes:
  • Para com multiplicidade 2:
  • Para com multiplicidade 4:
Portanto, a equação característica é:

Passo 6

Agora, vamos expandir a equação característica para obter o polinômio completo:
Primeiro, expandimos :
Multiplicando por :

Passo 7

Com o polinômio característico expandido, podemos escrever a Equação Diferencial Ordinária (EDO) associada. Sabemos que cada termo do polinômio corresponde à derivada da função .
Portanto, substituindo por , a EDO fica:

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária linear homogênea cuja solução geral é dada por
é

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