Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Conteúdo da matéria: Derivadas parciais de funções de duas variáveis, especificamente as derivadas de segunda ordem.
O que vamos precisar:
- Conhecimento de derivadas parciais.
- Regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
- Conhecimento das derivadas da função tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função é
.
Usamos a regra do produto aqui, já que temos um produto de duas funções de
:
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra da cadeia:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro,
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo em relação a
:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular
. Por propriedades das derivadas parciais contínuas, geralmente
. Porém, vamos verificar.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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e
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a)
a)
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e mostre que
d)
e mostre que
d)