Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50. s(x, y) = tg^(-1)(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivação de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
A função é uma função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia. Lembre-se de que a derivada de em relação a é .
Para :
Calculando a derivada interna:
Então:
Para :
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, que são , , e .
Vamos começar com :
Aplicando a regra do quociente:
Agora, :
Aplicando a regra do quociente:
De forma similar, será igual a devido à igualdade das derivadas mistas.
Finalmente, :
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Prove que f(t) = e^(2 t) é uma soluçāo da EDO dada por d^2 f(t)/dt^2 - 5 df(t)/dt + 6 f(t) = 0.
Sejam as funções f: [0, infinito) -> R, f(x) = x^2 + 1 e g(x) = 2x - 3.
a) Determine f^(-1)(x) e g^(-1)(x).
b) Encontre a inversa da função composta h(x) = g(f(x)).
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
c) F(x, y, z) = (x + y) i + (y + z) j + (x + z) k sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta ligando a origem ao ponto (1, 2, 4).
Exercício 1 Calcule as integrais de linha:
a) integralC 2 x d s, em que C=C1 cup C2, com C1 arco da curva y=x^2 ligando o ponto (0,0) ao ponto (1,1), e C2 o segmento de reta ligando o ponto (1,1) ao ponto (1,2).