Encontre todas as funções tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as funções tais que a segunda derivada delas, , seja igual a . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente à resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar integrar a expressão fornecida duas vezes para encontrar .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada . Como sabemos que , vamos integrar essa expressão com respeito a .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui, é a constante de integração que aparece porque estamos fazendo uma integração indefinida.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função original integrando :

Passo 5

Novamente, integramos cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui, é outra constante de integração.

Resposta

Todas as funções que satisfazem a equação são dadas por:
onde e são constantes reais.

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Encontre a antiderivada mais geral da função. Verifique sua resposta diferenciando.
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Ache a integral indefinida geral.
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Ache a integral indefinida geral.
Ache a integral indefinida geral.