Encontre todas as funções
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as funções
tais que a segunda derivada delas,
, seja igual a
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente à resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar integrar a expressão fornecida duas vezes para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada
. Como sabemos que
, vamos integrar essa expressão com respeito a
.
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é a constante de integração que aparece porque estamos fazendo uma integração indefinida.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função original
integrando
:
Passo 5
Novamente, integramos cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é outra constante de integração.
Resposta
Todas as funções que satisfazem a equação são dadas por:
onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Encontre a antiderivada mais geral da função. Verifique sua resposta diferenciando.
;
Ache a integral indefinida geral.
;
Ache a integral indefinida geral.
Ache a integral indefinida geral.