(*) Obtenha todas as soluções da EDO
Sugestão: A solução geral é obtida por integração direta por ser a EDO separável. Obtido devemos analisar o número de soluções nos casos em que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos resolver isso usando o método de separação de variáveis, que é uma técnica para EDOs onde conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para isso, precisamos reescrever a equação de forma que todos os fiquem de um lado e os do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Multiplicando ambos os lados por para isolar de um lado:
Agora, temos uma forma que nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Vamos agora integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é que, ao separar as variáveis, conseguimos escrever em termos de e então integrar para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualamos as duas expressões resultantes das integrações e combinamos as constantes:
Onde é uma nova constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Esta é a solução geral da EDO.

Passo 7

Agora, vamos analisar o número de soluções para os diferentes casos de :
  1. Quando :
    • A expressão dentro da raiz, , pode ser positiva ou negativa dependendo do valor de .
    • Para que seja real, precisamos que .
    • Dependendo de , pode haver intervalos de onde a solução existe.
  2. Quando :
    • A função varia entre -1 e 1.
    • Com entre 0 e 1, a expressão é sempre maior que , e menor que .
    • Existe uma faixa de onde é real.
  3. Quando :
    • Aqui, está sempre acima de , que é maior que 0.
    • Portanto, é sempre real para qualquer .

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante de integração. Dependendo do valor de :
  • Para : A solução existe apenas em intervalos onde .
  • Para : A solução é real para valores de onde .
  • Para : A solução é sempre real para qualquer .

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(e) .
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é a curva da intersecção do plano com o cilindo