(*) Obtenha todas as soluções da EDO
Sugestão: A solução geral é obtida por integração direta por ser a EDO separável. Obtido
devemos analisar o número de soluções nos casos em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos resolver isso usando o método de separação de variáveis, que é uma técnica para EDOs onde conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Para isso, precisamos reescrever a equação de forma que todos os
fiquem de um lado e os
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
de um lado:
Agora, temos uma forma que nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 3
Vamos agora integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é que, ao separar as variáveis, conseguimos escrever
em termos de
e então integrar para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualamos as duas expressões resultantes das integrações e combinamos as constantes:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Esta é a solução geral da EDO.
Passo 7
Agora, vamos analisar o número de soluções para os diferentes casos de
:
-
Quando
: - A expressão dentro da raiz,
, pode ser positiva ou negativa dependendo do valor de . - Para que
seja real, precisamos que . - Dependendo de
, pode haver intervalos de onde a solução existe.
- A expressão dentro da raiz,
-
Quando
: - A função
varia entre -1 e 1. - Com
entre 0 e 1, a expressão é sempre maior que , e menor que . - Existe uma faixa de
onde é real.
- A função
-
Quando
: - Aqui,
está sempre acima de , que é maior que 0. - Portanto,
é sempre real para qualquer .
- Aqui,
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante de integração. Dependendo do valor de
:
- Para
: A solução existe apenas em intervalos onde . - Para
: A solução é real para valores de onde . - Para
: A solução é sempre real para qualquer .
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[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível
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(e) .
(e)
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onde:
é a curva da intersecção do plano
com o cilindo