Resolva o problema de valor inicial
d p/d t = (2 - p(t)) p(t), p(0) = 1
e esboce o gráfico de p = p(t), que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Verhust-Pearl.
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de p(t) quando t -> +infinito )
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta:
p(t) = 2 / (1 + exp(-2 t))

Passo 1

Beleza, bora resolver esse problema! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que descreve como uma população muda com o tempo. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Aqui, representa a taxa de variação da população em relação ao tempo .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todas as expressões com de um lado e as com do outro:

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, precisamos usar frações parciais. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde .

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Substituindo na expressão de :
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 11

Modelo de Verhulst-Pearl: Esse modelo descreve o crescimento de uma população onde a taxa de crescimento é proporcional tanto ao tamanho atual da população quanto ao espaço disponível para crescimento. A equação leva em conta fatores limitantes que impedem o crescimento indefinido.

Passo 12

População Limite: Para encontrar o valor limite da população quando tende a infinito, analisamos:

Resposta

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