Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de
, que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Verhust-Pearl.
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de
quando
)
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta:
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta:
Passo 1
Beleza, bora resolver esse problema! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que descreve como uma população
muda com o tempo. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
e integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Aqui,
representa a taxa de variação da população
em relação ao tempo
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões com
de um lado e as com
do outro:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, precisamos usar frações parciais. Vamos decompor
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
-
Se
: -
Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 11
Modelo de Verhulst-Pearl: Esse modelo descreve o crescimento de uma população onde a taxa de crescimento é proporcional tanto ao tamanho atual da população quanto ao espaço disponível para crescimento. A equação leva em conta fatores limitantes que impedem o crescimento indefinido.
Passo 12
População Limite: Para encontrar o valor limite da população quando
tende a infinito, analisamos:
Resposta
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Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável:
Resposta: Encontre as soluções:
Encontre o valor de
para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando
.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral
do problema não-homogêneo. Impondo que
determine a constante
. Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor
evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando
(solução limitada!).
Resposta: .
Sugestão: Encontre a solução geral
Resposta:
(*) Obtenha todas as soluções da EDO
Sugestão: A solução geral é obtida por integração direta por ser a EDO separável. Obtido
devemos analisar o número de soluções nos casos em que
e
.
[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível
para os valores de
dados:
(e) .
(e)