Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(g) M2, (lla & b c & d)+(lla^prime & b^prime c^prime & d^prime)=(lla+a^prime & b+b^prime c+c^prime & d+d^prime) e k(ll2 k a & 2 k b 2 k c & 2 k d).

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre espaços vetoriais, que são conjuntos com operações de adição e multiplicação por escalar que seguem certas regras chamadas de axiomas. No caso, a parte (g) do exercício nos dá um conjunto de matrizes 2x2 com operações específicas de adição e multiplicação por escalar. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são todos válidos nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é um espaço vetorial. É como se fosse um conjunto de vetores onde você pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), seguindo algumas regras básicas, que chamamos de axiomas. Existem 8 desses axiomas que a gente precisa checar, como a associatividade da adição, a existência do elemento neutro, entre outros.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a operação de adição definida no item (g). Ela é a adição comum de matrizes:

[
a & b c & d + a' & b' c' & d' = a + a' & b + b' c + c' & d + d'
+


]
Essa é a forma padrão de somar matrizes, e ela atende todos os axiomas de adição necessários para formar um espaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos ver a operação de multiplicação por escalar, que está definida de uma maneira diferente:

[
k \cdot
k cdot a & b c & d = 2k a & 2k b 2k c & 2k d


]
Aqui, ao invés de simplesmente multiplicar cada elemento da matriz por , a gente multiplica por . Isso já é um sinal de que algo pode estar diferente das regras padrão dos espaços vetoriais.

Passo 5

Vamos verificar o axioma da multiplicação por escalar que diz que 1 cdot a & b c & d = 2 cdot 1 cdot a & 2 cdot 1 cdot b 2 cdot 1 cdot c & 2 cdot 1 cdot d = 2a & 2b 2c & 2d , ou seja, multiplicar qualquer vetor por 1 deve retornar o próprio vetor. Aplicando ao nosso caso:

[
1 \cdot


]
Percebemos que isso não é igual à matriz original, a menos que todos os elementos sejam zero. Portanto, o axioma não é satisfeito.

Resposta

O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial porque a operação de multiplicação por escalar não satisfaz o axioma de que .

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