Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(g)
e
.
(g)
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre espaços vetoriais, que são conjuntos com operações de adição e multiplicação por escalar que seguem certas regras chamadas de axiomas. No caso, a parte (g) do exercício nos dá um conjunto de matrizes 2x2 com operações específicas de adição e multiplicação por escalar. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são todos válidos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é um espaço vetorial. É como se fosse um conjunto de vetores onde você pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), seguindo algumas regras básicas, que chamamos de axiomas. Existem 8 desses axiomas que a gente precisa checar, como a associatividade da adição, a existência do elemento neutro, entre outros.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a operação de adição definida no item (g). Ela é a adição comum de matrizes:
[
+
]
Essa é a forma padrão de somar matrizes, e ela atende todos os axiomas de adição necessários para formar um espaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos ver a operação de multiplicação por escalar, que está definida de uma maneira diferente:
[
k \cdot
]
Aqui, ao invés de simplesmente multiplicar cada elemento da matriz por
, a gente multiplica por
. Isso já é um sinal de que algo pode estar diferente das regras padrão dos espaços vetoriais.
Passo 5
Vamos verificar o axioma da multiplicação por escalar que diz que
, ou seja, multiplicar qualquer vetor por 1 deve retornar o próprio vetor. Aplicando ao nosso caso:
[
1 \cdot
]
Percebemos que isso não é igual à matriz original, a menos que todos os elementos sejam zero. Portanto, o axioma não é satisfeito.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial porque a operação de multiplicação por escalar não satisfaz o axioma de que
.
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Sabendo que
, calcular:
.
Seja
uma transformação linear. Mostre que:
não pode ser sobrejetora.
Sabendo que
, calcular: