Seja
uma transformação linear. Mostre que:
não pode ser sobrejetora.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a dimensão de
é menor que a de
, então a transformação linear
não pode ser sobrejetora. Vamos usar conceitos de transformação linear e teoria das dimensões para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se todo vetor em
tem pelo menos um vetor em
que mapeia para ele. Ou seja, a imagem de
é igual a todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares.
Passo 4
Vamos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que para uma transformação linear
,
Aqui,
é o núcleo de
(conjunto de vetores mapeados para o zero) e
é a imagem de
.
Passo 5
Queremos que
seja sobrejetora, ou seja,
. Isso significa que
Passo 6
Substituindo na fórmula do Teorema da Dimensão, temos:
Como sabemos que
, isso implicaria que:
O que não faz sentido, pois dimensão não pode ser negativa.
Passo 7
Portanto, nossa suposição de que
é sobrejetora leva a uma contradição. Logo, se
, a transformação
não pode ser sobrejetora.
Resposta
Concluímos que se
, então a transformação linear
não pode ser sobrejetora.