Seja T: V W uma transformação linear. Mostre que: dim V não pode ser sobrejetora.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a dimensão de é menor que a de , então a transformação linear não pode ser sobrejetora. Vamos usar conceitos de transformação linear e teoria das dimensões para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo vetor em tem pelo menos um vetor em que mapeia para ele. Ou seja, a imagem de é igual a todo o espaço .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares.

Passo 4

Vamos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que para uma transformação linear dim V = dim(ker T) + dim(Im T) ,
Aqui, é o núcleo de (conjunto de vetores mapeados para o zero) e é a imagem de .

Passo 5

Queremos que dim(Im T) = dim W seja sobrejetora, ou seja, . Isso significa que

Passo 6

Substituindo na fórmula do Teorema da Dimensão, temos:
dim V = dim(ker T) + dim W
Como sabemos que dim(ker T) < 0 , isso implicaria que:
O que não faz sentido, pois dimensão não pode ser negativa.

Passo 7

Portanto, nossa suposição de que é sobrejetora leva a uma contradição. Logo, se , a transformação não pode ser sobrejetora.

Resposta

Concluímos que se , então a transformação linear não pode ser sobrejetora.

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