Seja uma transformação linear. Mostre que: não pode ser sobrejetora.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a dimensão de é menor que a de , então a transformação linear não pode ser sobrejetora. Vamos usar conceitos de transformação linear e teoria das dimensões para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo vetor em tem pelo menos um vetor em que mapeia para ele. Ou seja, a imagem de é igual a todo o espaço .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares.

Passo 4

Vamos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que para uma transformação linear ,
Aqui, é o núcleo de (conjunto de vetores mapeados para o zero) e é a imagem de .

Passo 5

Queremos que seja sobrejetora, ou seja, . Isso significa que

Passo 6

Substituindo na fórmula do Teorema da Dimensão, temos:
Como sabemos que , isso implicaria que:
O que não faz sentido, pois dimensão não pode ser negativa.

Passo 7

Portanto, nossa suposição de que é sobrejetora leva a uma contradição. Logo, se , a transformação não pode ser sobrejetora.

Resposta

Concluímos que se , então a transformação linear não pode ser sobrejetora.

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Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(g) e .
Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Sabendo que , calcular:
Seja a transformação linear dada por . Determine a matriz de em relação às bases canônicas de e .