Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
& 3 x1-5 x2=0 & 5 x1+4 x2=0 & 2 x1+5 x2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas que você me passou. O enunciado tem três equações com duas incógnitas, e . Nosso objetivo é encontrar todos os valores de e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição ou eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas primeiras equações:
3x1 - 5x2 = 0 (1) 5x1 + 4x2 = 0 (2)
Vamos tentar resolver esse sistema de duas equações para encontrar uma relação entre e .

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação. Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 5 e a equação (2) por 3 para igualar os coeficientes de 15x1 - 25x2 = 0 (1') 15x1 + 12x2 = 0 (2') :
(15x1 - 25x2) - (15x1 + 12x2) = 0 - 0
Agora, subtraímos a equação (2’) da equação (1’):
-37x2 = 0
Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que 3x1 - 5(0) = 0 Rightarrow 3x1 = 0 Rightarrow x1 = 0 , substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar . Vamos na equação (1):

Passo 5

Com 2x1 + 5x2 = 2(0) + 5(0) = 0 e , vamos verificar se essas soluções satisfazem a terceira equação:
Está tudo certo! As soluções que encontramos atendem a todas as equações do sistema.

Resposta

A única solução do sistema é e .

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