Resolva os seguintes sistemas, usando a matriz inversa. ( x=A^-1 b, verifique se a matriz inversa existe.)
r -2 x1-6 x2-3 x3=9 -x1+x2-x3=1 x1-x2+2 x3=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a matriz inversa. O que a gente tem aqui são três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). Para resolver usando a matriz inversa, a gente precisa montar a matriz dos coeficientes, verificar se ela tem inversa (ou seja, se o determinante não é zero) e depois aplicar a fórmula x = A^-1 b.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A e o vetor b a partir do sistema dado:
A = -2 & -6 & -3 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 2 , b = 9 1 2

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz A tem inversa. Para isso, calculamos o determinante de A, que nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
O determinante de A ( det(A)) é calculado da seguinte forma:
det(A) = -2 cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - (-6) cdot (-1 cdot 2 - (-1) cdot 1) -3 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 1)
Simplificando:
det(A) = -2 cdot (2 - 1) - (-6) cdot (-2 - (-1)) -3 cdot (1 - 1) = -2 cdot 1 - (-6) cdot (-1) -3 cdot 0 = -2 - 6 - 0 = -8
Como det(A) = -8 neq 0, a matriz A tem inversa.

Passo 4

Agora que sabemos que A tem inversa, vamos calcular A^-1. O cálculo da inversa de uma matriz 3x3 envolve várias etapas, como encontrar a matriz adjunta e dividir pelo determinante. Para simplificar, vamos usar a fórmula geral para a inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A. Após os cálculos, obtemos:
A^-1 = 1-8 (1 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) & -(-1 cdot 2 - (-1) cdot 1) & (-1 cdot (-1) - 1 cdot 1) -(-6 cdot 2 - (-3) cdot (-1)) & (-2 cdot 2 - (-3) cdot 1) & -(-2 cdot (-1) - (-6) cdot 1) (-6 cdot (-1) - (-3) cdot 1) & -(-2 cdot (-1) - (-3) cdot 1) & (-2 cdot 1 - (-6) cdot (-1))
Simplificando cada elemento:
A^-1 = 1-8 2 - 1 & -(-2 + 1) & (1 - 1) -(-12 - 3) & (-4 + 3) & - (2 - (-6)) (6 + 3) & - (2 - 3) & (-2 - 6) = 1-8 1 & 1 & 0 15 & -1 & -8 9 & 1 & -8
Então:
A^-1 = - 18 & - 18 & 0 - 158 & 18 & 1 - 98 & - 18 & 1

Passo 5

Agora, vamos multiplicar a matriz inversa A^-1 pelo vetor b para encontrar o vetor solução x:
x = A^-1 b = - 18 & - 18 & 0 - 158 & 18 & 1 - 98 & - 18 & 1 9 1 2
Calculando cada componente:
Para x1:
x1 = -18 cdot 9 - 18 cdot 1 + 0 cdot 2 = -108 = -54
Para x2:
x2 = -158 cdot 9 + 18 cdot 1 + 1 cdot 2 = -1358 + 18 + 2 = -1348 + 2 = -674 + 2 = -594
Para x3:
x3 = -98 cdot 9 - 18 cdot 1 + 1 cdot 2 = -818 - 18 + 2 = -828 + 2 = -414 + 2 = -334

Resposta

A solução do sistema é:
x = x1 x2 x3 = - 54 - 594 - 334

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r x1-3 x2=0 -2 x1+6 x2=0