Verificar se a matriz A=(cc-3 & 4 -1 & 2) é diagonalizável ou não ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a matriz -3 & 4 -1 & 2 é diagonalizável ou não. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Então, pra resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz e depois verificar se temos autovetores suficientes para diagonalizá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Pra isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por:
A - lambda I = -3 - lambda & 4 -1 & 2 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (-3 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(4) é a matriz identidade e (-3)(2) + (-3)(-lambda) - lambda(2) + lambda^2 + 4 = -6 + 3lambda - 2lambda + lambda^2 + 4 representa os autovalores. Vamos calcular:
lambda^2 + lambda - 2 = 0
O determinante dessa matriz é:
Multiplicando os termos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde lambda = -1 pm raiz92 = -1 pm 32 , lambda1 = -1 + 32 = 1 e lambda2 = -1 - 32 = -2 e . Calculando o discriminante ( ):
Então,
Isso nos dá dois autovalores:

Passo 4

Com dois autovalores distintos ( e ), sabemos que a matriz tem dois autovetores linearmente independentes. Isso porque cada autovalor distinto contribui com pelo menos um autovetor próprio.

Passo 5

Como a matriz é uma matriz 2x2 e temos dois autovalores distintos, ela possui dois autovetores linearmente independentes. Portanto, a matriz é diagonalizável.

Resposta

A matriz -3 & 4 -1 & 2 é diagonalizável.

Exercícios relacionados