Verificar se a matriz
é diagonalizável ou não ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a matriz
é diagonalizável ou não. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Então, pra resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz e depois verificar se temos autovetores suficientes para diagonalizá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Pra isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Então,
Isso nos dá dois autovalores:
Passo 4
Com dois autovalores distintos (
e
), sabemos que a matriz
tem dois autovetores linearmente independentes. Isso porque cada autovalor distinto contribui com pelo menos um autovetor próprio.
Passo 5
Como a matriz
é uma matriz 2x2 e temos dois autovalores distintos, ela possui dois autovetores linearmente independentes. Portanto, a matriz
é diagonalizável.
Resposta
A matriz
é diagonalizável.
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e.
e.
Sejam
e
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. Encontre a matrizes mudança de base:
(b) ii.
(b) ii.