Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
& 2 x1+3 x2-x3=0 & 6 x1-5 x2+7 x3=0

Passo 1

Beleza, temos aqui um sistema de equações lineares homogêneas com três variáveis: , e . O conteúdo que vamos usar é a resolução de sistemas lineares usando métodos como substituição ou combinação linear. Vamos precisar transformar essas equações de forma que consigamos expressar algumas variáveis em termos de outras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
2x1 + 3x2 - x3 = 0 6x1 - 5x2 + 7x3 = 0

Passo 3

Como temos mais variáveis do que equações, vamos escolher uma variável para ser livre. Geralmente, escolhemos a última variável para facilitar. Vamos deixar , onde pode ser qualquer número real.

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira equação para expressar 2x1 + 3x2 - t = 0 implies 2x1 = -3x2 + t implies x1 = -3x2 + t2 em termos de e :

Passo 5

Em seguida, substituímos 6(-3x2 + t2) - 5x2 + 7t = 0 e 3(-3x2 + t) - 5x2 + 7t = 0 implies -9x2 + 3t - 5x2 + 7t = 0 na segunda equação:
(-9x2 - 5x2) + (3t + 7t) = 0 implies -14x2 + 10t = 0
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo para -14x2 + 10t = 0 implies 14x2 = 10t implies x2 = 10t14 = 5t7 :

Passo 7

Agora que temos x1 = -3(5t7) + t2 = -15t7 + t2 = -15t7 + 7t72 = -8t72 = -4t7 em termos de , substituímos de volta em :

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
x1 = -dfrac47 t x2 = dfrac57 t x3 = t onde t in R

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