Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
x1+x2-x3 & =0 2 x1-4 x2+3 x3 & =0 3 x1+7 x2-x3 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas juntos! O que a gente tem aqui são três equações com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é encontrar todos os valores desses que fazem todas as equações serem verdadeiras ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar um método chamado eliminação de Gauss, que basicamente ajuda a simplificar o sistema para encontrar as soluções mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização e aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & -1 & | & 0 2 & -4 & 3 & | & 0 3 & 7 & -1 & | & 0
Nesse formato, cada linha representa uma das equações e cada coluna, uma das incógnitas, com o separador “|” indicando o lado direito das equações (que são todas 0, já que o sistema é homogêneo).

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O primeiro passo é deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está aí, então seguimos). Em seguida, vamos zerar os outros elementos abaixo desse 1.
Para a segunda linha ( L2: 2 - 2(1) = 0 -4 - 2(1) = -6 3 - 2(-1) = 5 0 - 2(0) = 0 ), fazemos:
L3: 3 - 3(1) = 0 7 - 3(1) = 4 -1 - 3(-1) = 2 0 - 3(0) = 0
Isso fica:
1 & 1 & -1 & | & 0 0 & -6 & 5 & | & 0 0 & 4 & 2 & | & 0
Então, a segunda linha fica:
Para a terceira linha ( ), fazemos:

Isso fica:
Então, a terceira linha fica:
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Seguimos eliminando agora o segundo elemento da segunda coluna. Primeiro, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -6 para que o coeficiente de L2 = L2-6 0 1 -56 | 0 seja 1.
1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & -56 & | & 0 0 & 4 & 2 & | & 0
Então, a matriz fica:
0 4 - 4(1) = 0 2 - 4(-56) = 2 + 206 = 326 = 163 0 - 4(0) = 0
Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na segunda coluna. Para a terceira linha ( 1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & -56 & | & 0 0 & 0 & 163 & | & 0 ), fazemos:
Então, a terceira linha fica:
Agora, a matriz está assim:

Passo 5

Vamos agora simplificar a terceira linha dividindo por L3 = L3163 = 316 times L3 0 0 1 | 0 para que o coeficiente de 1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & -56 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 0 seja 1.
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta para encontrar os valores de x3 = 0 , x2 - 56(0) = 0 x2 = 0 e x1 + 0 - 0 = 0 x1 = 0 .
Começando pela terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
E finalmente, substituindo e na primeira equação:

Resposta

A única solução do sistema é , e . Ou seja, a solução trivial é .

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