Encontre todas as soluções do sistema ccx1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5 & =14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5 & =-2 x1+3 x2-x3+2 x5 & =-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A questão envolve álgebra linear, onde temos um sistema com 5 incógnitas ( ) e 3 equações. Para resolver, vamos usar eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar as operações:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & | & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha). Para isso:
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair a Linha 1 da Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15

Passo 4

Vamos simplificar as últimas duas linhas. Podemos dividir a Linha 2 por 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & 1 & 83 & -193 & | & 10 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15 :

Passo 5

Em seguida, vamos zerar o 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & 1 & 83 & -193 & | & 10 0 & 0 & 0 & 5 & -4 & | & 15 da Linha 3 usando a Linha 2. Para isso, adicionamos 3 vezes a Linha 2 na Linha 3:

Passo 6

Agora, vamos expressar 5x4 - 4x5 = 15 Rightarrow x4 = 15 + 4x55 = 3 + 45x5 a partir da Linha 3:

Passo 7

Com x3 + 83x4 - 193x5 = 10 Rightarrow x3 = 10 - 83x4 + 193x5 em termos de x3 = 10 - 83(3 + 45x5) + 193x5 Rightarrow x3 = 10 - 8 - 3215x5 + 193x5 Rightarrow x3 = 2 + 193x5 - 3215x5 Rightarrow x3 = 2 + 95 - 3215x5 Rightarrow x3 = 2 + 6315x5 Rightarrow x3 = 2 + 215x5 , vamos voltar para a Linha 2 para encontrar :
Substituindo :

Passo 8

Agora, vamos para a Linha 1 para encontrar x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 -7x5 = 14 e x1 + 3x2 + 2(2 + 215x5) + 3(3 + 45x5) -7x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 4 + 425x5 + 9 + 125x5 -7x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 13 + (425 + 125 - 7)x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 13 + (545 - 355)x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 13 + 195x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 = 1 - 195x5 Rightarrow x1 = 1 - 195x5 - 3x2 . A Linha 1 é:
Substituindo e :

Passo 9

Observamos que temos 2 variáveis que não estão resolvidas, x1 = 1 - 195s - 3t x2 = t x3 = 2 + 215s x4 = 3 + 45s x5 = s e . Vamos deixar e , onde e são parâmetros livres.
Então, nossas soluções são:

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
x1 = 1 - 3t - dfrac195s x2 = t x3 = 2 + dfrac215s x4 = 3 + dfrac45s x5 = s
onde e são números reais quaisquer.

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