Encontre todas as soluções do sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A questão envolve álgebra linear, onde temos um sistema com 5 incógnitas (
) e 3 equações. Para resolver, vamos usar eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar as operações:
Passo 3
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha). Para isso:
- Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
- Linha 3: Subtrair a Linha 1 da Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 4
Vamos simplificar as últimas duas linhas. Podemos dividir a Linha 2 por
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & 1 & 83 & -193 & | & 10 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15 :
Passo 5
Em seguida, vamos zerar o
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & 1 & 83 & -193 & | & 10 0 & 0 & 0 & 5 & -4 & | & 15 da Linha 3 usando a Linha 2. Para isso, adicionamos 3 vezes a Linha 2 na Linha 3:
Passo 6
Agora, vamos expressar
5x4 - 4x5 = 15 Rightarrow x4 = 15 + 4x55 = 3 + 45x5 a partir da Linha 3:
Passo 7
Com
x3 + 83x4 - 193x5 = 10 Rightarrow x3 = 10 - 83x4 + 193x5 em termos de
x3 = 10 - 83(3 + 45x5) + 193x5 Rightarrow x3 = 10 - 8 - 3215x5 + 193x5 Rightarrow x3 = 2 + 193x5 - 3215x5 Rightarrow x3 = 2 + 95 - 3215x5 Rightarrow x3 = 2 + 6315x5 Rightarrow x3 = 2 + 215x5 , vamos voltar para a Linha 2 para encontrar
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, vamos para a Linha 1 para encontrar
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 -7x5 = 14 e
x1 + 3x2 + 2(2 + 215x5) + 3(3 + 45x5) -7x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 4 + 425x5 + 9 + 125x5 -7x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 13 + (425 + 125 - 7)x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 13 + (545 - 355)x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 + 13 + 195x5 = 14 Rightarrow x1 + 3x2 = 1 - 195x5 Rightarrow x1 = 1 - 195x5 - 3x2 . A Linha 1 é:
Substituindo
e
:
Passo 9
Observamos que temos 2 variáveis que não estão resolvidas,
x1 = 1 - 195s - 3t x2 = t x3 = 2 + 215s x4 = 3 + 45s x5 = s e
. Vamos deixar
e
, onde
e
são parâmetros livres.
Então, nossas soluções são:
Resposta
Todas as soluções do sistema são dadas por:
onde
e
são números reais quaisquer.
Exercícios relacionados
Sejam
u, v, w e
t vetores. Mostre que:
(iv) Seu, v é LI e
x wed>= u=x wed>= v=0 então
x=0 ;
(iv) Se
Resolva por eliminação o sistema de duas equações
ccx-y & =10 3 x+6 y & =18 . Desenhe o gráfico que representa cada equação como reta no plano xy, as linhas intersectam na solução. Além disso, adicione a reta que surge após a eliminação.
A partir de uma base (qualquer) do
R^2 , USE o Processo de Ortogonalização de de GramSchmidt para obter uma base ORTOGONAL do
R^2 (em relação ao produto interno
<,> acima definido). COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS
Considere os vetores
u=(2,-3,2) e
v=(4,-1,2) .
(i) Calculeu wed>= v .
(i) Calcule