A partir de uma base (qualquer) do , USE o Processo de Ortogonalização de de GramSchmidt para obter uma base ORTOGONAL do (em relação ao produto interno acima definido). COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Ortogonalização de Gram-Schmidt no . A ideia aqui é pegar uma base qualquer desse espaço e transformar ela em uma base ortogonal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, produto interno e o próprio método de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma base qualquer do . Vamos supor que a base inicial seja formada pelos vetores e .
Passo 3
O próximo passo é aplicar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortogonal. O primeiro vetor da nova base, , será igual a :
Passo 4
Agora, vamos calcular o segundo vetor ortogonal, . Para isso, subtraímos a projeção de sobre de :
Primeiro, calculamos o produto interno:
E o produto interno de consigo mesmo:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :
Passo 5
Pronto! Agora temos nossa base ortogonal:
Esses vetores são ortogonais porque o produto interno entre eles é zero:
Resposta
A base ortogonal obtida usando o processo de Gram-Schmidt é: