A partir de uma base (qualquer) do R^2, USE o Processo de Ortogonalização de de GramSchmidt para obter uma base ORTOGONAL do R^2 (em relação ao produto interno <,> acima definido). COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Ortogonalização de Gram-Schmidt no R^2. A ideia aqui é pegar uma base qualquer desse espaço e transformar ela em uma base ortogonal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, produto interno e o próprio método de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma base qualquer do R^2. Vamos supor que a base inicial seja formada pelos vetores v1 = 1 1 e v2 = 1 0.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortogonal. O primeiro vetor da nova base, u1, será igual a v1:
u1 = v1 = 1 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo vetor ortogonal, u2. Para isso, subtraímos a projeção de v2 sobre u1 de v2:
proju1 v2 = lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
Primeiro, calculamos o produto interno:
lang<= v2, u1 rang<= = 1 times 1 + 0 times 1 = 1
E o produto interno de u1 consigo mesmo:
lang<= u1, u1 rang<= = 1 times 1 + 1 times 1 = 2
Então,
proju1 v2 = 12 1 1 = 0.5 0.5
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter u2:
u2 = v2 - proju1 v2 = 1 0 - 0.5 0.5 = 0.5 -0.5

Passo 5

Pronto! Agora temos nossa base ortogonal:
u1 = 1 1, u2 = 0.5 -0.5
Esses vetores são ortogonais porque o produto interno entre eles é zero:
lang<= u1, u2 rang<= = 1 times 0.5 + 1 times (-0.5) = 0

Resposta

A base ortogonal obtida usando o processo de Gram-Schmidt é:
1 1, 0.5 -0.5

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