Sejam e vetores. Mostre que:
(iv) Se é LI e então ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os vetores , , e . Precisamos mostrar que se o conjunto é linearmente independente (LI) e que , então o vetor deve ser o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se , então necessariamente e .
Passo 3
Agora, vamos entender o que representa o produto externo (wedge) entre dois vetores. O produto externo resulta em um bivetor que indica a área do paralelogramo formado por e . Se , isso significa que os vetores e são paralelos ou um é múltiplo do outro, ou seja, eles são linearmente dependentes.
Passo 4
Dado que e , isso implica que é um múltiplo de e também um múltiplo de . Vamos expressar isso matematicamente:
Onde e são escalares.
Passo 5
Igualando as duas expressões para :
Rearranjando:
Passo 6
Como é um conjunto linearmente independente, a única solução para a equação acima é e . Isso significa que: