Sejam u, v, w e t vetores. Mostre que:
(iv) Se u, v é LI e x wed>= u=x wed>= v=0 então x=0;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os vetores u, v, w e t. Precisamos mostrar que se o conjunto u, v é linearmente independente (LI) e que x wed>= u = x wed>= v = 0, então o vetor x deve ser o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se au + bv = 0, então necessariamente a = 0 e b = 0.

Passo 3

Agora, vamos entender o que representa o produto externo (wedge) entre dois vetores. O produto externo x wed>= u resulta em um bivetor que indica a área do paralelogramo formado por x e u. Se x wed>= u = 0, isso significa que os vetores x e u são paralelos ou um é múltiplo do outro, ou seja, eles são linearmente dependentes.

Passo 4

Dado que x wed>= u = 0 e x wed>= v = 0, isso implica que x é um múltiplo de u e também um múltiplo de v. Vamos expressar isso matematicamente:
x = ku
x = mv
Onde k e m são escalares.

Passo 5

Igualando as duas expressões para x:
ku = mv
Rearranjando:
ku - mv = 0

Passo 6

Como u, v é um conjunto linearmente independente, a única solução para a equação acima é k = 0 e m = 0. Isso significa que:
x = 0u = 0

Resposta

Portanto, x = 0.

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