Sejam
e
vetores. Mostre que:
(iv) Se
é LI e
então
;
(iv) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os vetores
,
,
e
. Precisamos mostrar que se o conjunto
é linearmente independente (LI) e que
, então o vetor
deve ser o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que representa o produto externo (wedge) entre dois vetores. O produto externo
resulta em um bivetor que indica a área do paralelogramo formado por
e
. Se
, isso significa que os vetores
e
são paralelos ou um é múltiplo do outro, ou seja, eles são linearmente dependentes.
Passo 4
Dado que
e
, isso implica que
é um múltiplo de
e também um múltiplo de
. Vamos expressar isso matematicamente:
Onde
e
são escalares.
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Rearranjando:
Passo 6
Como
é um conjunto linearmente independente, a única solução para a equação acima é
e
. Isso significa que:
Resposta
Portanto,
.