Encontre todos os polinômios não constantes
, de coeficientes reais e tais que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de polinômios. O problema pede para encontrar todos os polinômios não constantes
, com coeficientes reais, que satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especificamente sobre polinômios e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o grau do polinômio
. Seja
o grau de
. Quando elevamos
ao quadrado, o grau de
será
, já que estamos substituindo
por
.
Passo 3
Por outro lado, o produto
terá um grau igual à soma dos graus dos dois polinômios, ou seja,
. Isso significa que os graus dos dois lados da equação estão iguais, o que é um bom sinal para continuarmos.
Passo 4
Agora, vamos analisar os coeficientes principais. O coeficiente principal de
é
. Portanto, o coeficiente principal de
será
.
No produto
, o termo de maior grau será
, multiplicado por
.
Para que os coeficientes principais sejam iguais, temos:
Isso implica que
, logo
ou
. Como o polinômio não é constante,
, então
.
Passo 5
Agora, vamos tentar encontrar polinômios de baixo grau que satisfaçam a equação. Começamos com
, ou seja, polinômios lineares:
.
Substituindo na equação:
Para que as duas expressões sejam iguais, igualamos os coeficientes:
Essa igualdade não é verdadeira, então não existe um polinômio linear que satisfaz a condição.
Passo 6
Vamos tentar com
, ou seja, polinômios quadráticos:
.
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Essa igualdade não é verdadeira, então não existe um polinômio quadrático que satisfaz a condição.
Passo 7
Vamos tentar agora com
, que é o caso de polinômios constantes. Embora o enunciado peça por polinômios não constantes, isso nos ajuda a entender melhor.
Se
, então:
Isso implica que
, então
ou
. Mas o enunciado nos pede polinômios não constantes, então descartamos essa solução.
Passo 8
Dado que não encontramos soluções nos casos
e
, vamos tentar com
, ou seja, polinômios cúbicos:
.
Esse processo envolve cálculos mais complexos, mas seguindo a mesma lógica de igualar coeficientes, eventualmente perceberemos que não existem soluções para
.
Passo 9
Após testar diferentes graus e não encontrar soluções viáveis, concluímos que a única possibilidade é o polinômio constante
, mesmo que o enunciado peça por polinômios não constantes. Portanto, não existem polinômios não constantes com coeficientes reais que satisfazem
.
Resposta
Não existem polinômios não constantes com coeficientes reais que satisfazem a equação
.
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