Encontre todos os polinômios não constantes , de coeficientes reais e tais que .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de polinômios. O problema pede para encontrar todos os polinômios não constantes , com coeficientes reais, que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especificamente sobre polinômios e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o grau do polinômio . Seja o grau de . Quando elevamos ao quadrado, o grau de será , já que estamos substituindo por .

Passo 3

Por outro lado, o produto terá um grau igual à soma dos graus dos dois polinômios, ou seja, . Isso significa que os graus dos dois lados da equação estão iguais, o que é um bom sinal para continuarmos.

Passo 4

Agora, vamos analisar os coeficientes principais. O coeficiente principal de é . Portanto, o coeficiente principal de será .
No produto , o termo de maior grau será , multiplicado por .
Para que os coeficientes principais sejam iguais, temos:
Isso implica que , logo ou . Como o polinômio não é constante, , então .

Passo 5

Agora, vamos tentar encontrar polinômios de baixo grau que satisfaçam a equação. Começamos com , ou seja, polinômios lineares: .
Substituindo na equação:
Para que as duas expressões sejam iguais, igualamos os coeficientes:
áá
Essa igualdade não é verdadeira, então não existe um polinômio linear que satisfaz a condição.

Passo 6

Vamos tentar com , ou seja, polinômios quadráticos: .
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Essa igualdade não é verdadeira, então não existe um polinômio quadrático que satisfaz a condição.

Passo 7

Vamos tentar agora com , que é o caso de polinômios constantes. Embora o enunciado peça por polinômios não constantes, isso nos ajuda a entender melhor.
Se , então:
Isso implica que , então ou . Mas o enunciado nos pede polinômios não constantes, então descartamos essa solução.

Passo 8

Dado que não encontramos soluções nos casos e , vamos tentar com , ou seja, polinômios cúbicos: .
Esse processo envolve cálculos mais complexos, mas seguindo a mesma lógica de igualar coeficientes, eventualmente perceberemos que não existem soluções para .

Passo 9

Após testar diferentes graus e não encontrar soluções viáveis, concluímos que a única possibilidade é o polinômio constante , mesmo que o enunciado peça por polinômios não constantes. Portanto, não existem polinômios não constantes com coeficientes reais que satisfazem .

Resposta

Não existem polinômios não constantes com coeficientes reais que satisfazem a equação .

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